Integración y áreas bajo curvas
El bloque evalúa el cálculo de primitivas (inmediatas, por partes, racionales sencillas) y, sobre todo, el cálculo de áreas: entre una curva y el eje OX, entre dos curvas y el uso de la regla de Barrow.
Primitivas y regla de Barrow
- ∫x^n dx = x^(n+1)/(n+1) + C para n ≠ −1; ∫(1/x) dx = ln|x| + C; ∫e^x dx = e^x + C; ∫a^x dx = a^x/ln a + C.
- Integración por partes: ∫u dv = u·v − ∫v du; típica con x·e^x, x·ln x o x·sen x.
- ∫f(x)^n·f'(x) dx = f(x)^(n+1)/(n+1) + C cuando el factor derivada está presente.
- Regla de Barrow: ∫ entre a y b de f = F(b) − F(a), con F una primitiva cualquiera de f.
Cálculo de áreas
- Área entre f y el eje OX en [a, b]: integral del valor absoluto de f. Hay que localizar los cortes con el eje y dividir el intervalo; las regiones bajo el eje dan integral negativa y se suman en valor absoluto.
- Área entre dos curvas: integral del valor absoluto de f − g entre las abscisas de los puntos de corte, que se obtienen resolviendo f(x) = g(x).
- Si el recinto cambia de función dominante o está limitado por tres curvas, se subdivide en trozos.
Ejemplo resuelto
Área del recinto limitado por y = x² y y = x + 2. Cortes: x² = x + 2, es decir x² − x − 2 = 0, con soluciones x = −1 y x = 2. En ese intervalo la recta va por encima (en x = 0: 2 > 0), así que se integra x + 2 − x². A = ∫ de −1 a 2 de (x + 2 − x²) dx = [x²/2 + 2x − x³/3] entre −1 y 2 = (2 + 4 − 8/3) − (1/2 − 2 + 1/3) = 10/3 + 7/6 = 9/2 = 4,5 unidades cuadradas.
Errores que restan puntos
- Integrar f − g sin comprobar qué función está arriba, obteniendo un área negativa.
- Olvidar dividir el intervalo cuando la curva cruza el eje OX.
- No localizar todos los puntos de corte y dejar parte del recinto fuera del cálculo.
- Elegir mal u y dv en la integración por partes.