Probabilidad y probabilidad condicionada
La probabilidad combina el cálculo directo, las tablas de contingencia, la probabilidad condicionada, la independencia y los teoremas de la probabilidad total y de Bayes, casi siempre con ayuda de un diagrama de árbol.
Reglas básicas
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B); si son incompatibles, la intersección es vacía y basta con sumar.
- P(A^c) = 1 − P(A); el suceso contrario simplifica los enunciados del tipo «al menos uno».
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B), con P(B) > 0, y equivalentemente P(A ∩ B) = P(B)·P(A|B).
- A y B son independientes si y solo si P(A ∩ B) = P(A)·P(B), lo que equivale a P(A|B) = P(A).
- Probabilidad total: P(B) = suma de P(A_i)·P(B|A_i) sobre una partición del espacio muestral. Bayes: P(A_i|B) = P(A_i)·P(B|A_i)/P(B).
Ejemplo resuelto (Bayes)
El 2 % de una población padece una enfermedad. Un test da positivo en el 95 % de los enfermos y también en el 10 % de los sanos. Si un paciente da positivo, ¿cuál es la probabilidad de que esté enfermo? Sea E el suceso estar enfermo y + el resultado positivo: P(E) = 0,02; P(+|E) = 0,95; P(+|E^c) = 0,10. P(+) = 0,02·0,95 + 0,98·0,10 = 0,019 + 0,098 = 0,117. P(E|+) = 0,019/0,117 ≈ 0,1624. Solo un 16,2 % de los positivos están realmente enfermos: la baja prevalencia domina el resultado aunque el test parezca muy fiable.
Errores que restan puntos
- Confundir P(A|B) con P(B|A), el fallo clásico en Bayes.
- Suponer independencia sin que el enunciado la declare.
- No restar la intersección al aplicar P(A ∪ B).
- Olvidar el denominador de Bayes, que es la probabilidad total del suceso condicionante.
- Interpretar mal «sin reemplazamiento»: la segunda extracción depende de lo ocurrido en la primera.