Variables aleatorias y distribuciones; aproximación normal
Este bloque pide identificar el modelo adecuado (discreto, binomial o normal), calcular probabilidades, medias y desviaciones típicas y, muy en particular, tipificar una normal y aproximar una binomial por una normal.
Variables aleatorias
- Discreta: función de probabilidad p(x_i) con suma 1; media μ = suma de x_i·p_i; varianza σ² = suma de x_i²·p_i − μ².
- Binomial B(n, p): P(X = k) = C(n, k)·p^k·(1 − p)^(n−k); μ = np; σ = raíz de np(1 − p). Modela el número de éxitos en n pruebas independientes con probabilidad constante.
- Continua: densidad f no negativa con integral total 1; P(a ≤ X ≤ b) es la integral de f entre a y b; la probabilidad de un punto aislado es 0.
Normal y aproximación
- Para X ~ N(μ, σ) se tipifica Z = (X − μ)/σ, que es N(0, 1), y se usa la tabla de Φ(z) = P(Z ≤ z). Aprovecha la simetría: Φ(−z) = 1 − Φ(z) y P(Z ≥ z) = 1 − Φ(z).
- La binomial se aproxima por la normal cuando n es grande y np ≥ 5 y n(1 − p) ≥ 5, tomando μ = np y σ = raíz de np(1 − p).
- Corrección por continuidad: P(X ≥ 90) se aproxima por P(X' ≥ 89,5); P(X ≤ 90) por P(X' ≤ 90,5); P(X = 90) por P(89,5 ≤ X' ≤ 90,5).
Ejemplo resuelto
Sea X ~ B(200; 0,4). Calcular P(X ≥ 90). μ = 200·0,4 = 80; σ = raíz de 200·0,4·0,6 = raíz de 48 ≈ 6,928. Con corrección: P(X ≥ 90) ≈ P(X' ≥ 89,5) = P(Z ≥ (89,5 − 80)/6,928) = P(Z ≥ 1,37) = 1 − 0,9147 = 0,0853. La probabilidad pedida es aproximadamente 0,085.
Errores que restan puntos
- Olvidar la corrección por continuidad al pasar de discreta a continua.
- Tipificar mal: hay que restar μ y dividir por σ, no multiplicar.
- Usar la tabla sin ajustar el signo; la tabla proporciona P(Z ≤ z).
- Aplicar la aproximación normal con p próximo a 0 o 1, donde falla.
- Confundir varianza con desviación típica en las fórmulas.