Inferencia estadística: muestreo, estimación e intervalos de confianza
El bloque evalúa la comprensión del muestreo, la distribución de la media muestral y la construcción e interpretación de intervalos de confianza para la media y para la proporción.
Distribución de la media muestral
- Si X ~ N(μ, σ), entonces la media muestral sigue una normal de media μ y desviación típica σ/raíz de n.
- El teorema central del límite permite usar esa aproximación para n ≥ 30 aunque la población no sea normal.
- El error típico es σ/raíz de n: disminuye con la raíz del tamaño, así que para reducir el error a la mitad hay que cuadruplicar la muestra.
Intervalos de confianza
- IC al nivel 1 − α para la media con σ conocida: media muestral ± z_(α/2)·σ/raíz de n. Valores habituales: 1,645 al 90 %; 1,96 al 95 %; 2,575 al 99 %.
- Error máximo admisible: E = z_(α/2)·σ/raíz de n, de donde n = (z_(α/2)·σ/E)², redondeando siempre al entero superior.
- Para la proporción: p̂ ± z_(α/2)·raíz de p̂(1 − p̂)/n, con p̂ = x/n. Si no hay estimación previa, se toma p̂ = 0,5 para el cálculo del tamaño muestral, que es el caso más desfavorable.
- Interpretación correcta: el procedimiento genera intervalos que contienen el parámetro en el (1 − α)·100 % de las muestras; no es la probabilidad de que μ caiga en este intervalo concreto.
Ejemplo resuelto
Una muestra de 100 individuos da una media de 52 y se sabe que la desviación típica poblacional es 10. IC al 95 % para μ: E = 1,96·10/raíz de 100 = 1,96. IC = (52 − 1,96; 52 + 1,96) = (50,04; 53,96). Si se quisiera un error máximo de 1 con el mismo nivel de confianza: n = (1,96·10/1)² = 384,16, es decir 385 individuos.
Errores que restan puntos
- Usar σ en lugar de σ/raíz de n, o dividir por n en vez de por su raíz.
- Confundir z_(α/2) con z_α: al 95 % corresponde 1,96, no 1,645.
- No redondear el tamaño de muestra al entero superior.
- Emplear la fórmula de la proporción con p en lugar de p̂.
- Aumentar el nivel de confianza esperando un intervalo más estrecho: ocurre lo contrario.