Curva en S entre dos rectas paralelas: ¿existe la solución con el radio pedido?
Un estudio de señalización para un carril bici debe dibujar a escala 1:5 el perfil de una baliza formada por dos tramos rectos paralelos, separados 40,0 mm (medidas reales), que se unen mediante una curva en S. La S se compone de dos arcos de circunferencia de radio R = 30,0 mm, tangentes entre sí en un punto T y tangentes cada uno a uno de los tramos rectos; por simetría, T debe equidistar de ambas rectas. El delineante ha resuelto el perfil suponiendo que cada arco gira 45° y ha acotado un avance horizontal de 40,0 mm, argumentando que «el avance coincide con la separación». El cliente exige tangencia continua, sin vértice, y que la curva no invada el carril. El taller de plegado, por su parte, no puede doblar perfiles con radio menor de 12,0 mm y pregunta si la solución depende del radio elegido o si existe un radio por debajo del cual la S deja de existir.
1. Determina si la S es construible con R = 30,0 mm y d = 40,0 mm. Calcula el avance horizontal total y el ángulo que gira cada arco, e indica cómo se localizan los centros.
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Centros. Cada centro está a R = 30,0 mm de su recta, hacia el interior de la S: C1 a 30,0 mm de la primera recta y C2 a 30,0 mm de la segunda. Como T equidista de ambas, está a 20,0 mm de cada una; además T pertenece al segmento C1C2 y TC1 = TC2 = R, luego C1C2 = 2R = 60,0 mm.
Triángulo de centros. Entre C1 y C2 la diferencia de distancias a las rectas es |2R − d| = |60,0 − 40,0| = 20,0 mm. Por tanto la separación horizontal es:
h = √(C1C2² − (2R − d)²) = √(60,0² − 20,0²) = √3200 = 56,57 mm
Cada arco avanza la mitad: 28,28 mm. El avance total (56,57 mm) no coincide con la separación entre rectas (40,0 mm).
Giro de cada arco. El vector C1T = (28,28; −10,0); la tangente en T es perpendicular a él, luego forma con la horizontal un ángulo θ tal que cos θ = |2R − d|/(2R) = 20,0/60,0 = 1/3 → θ = 70,53° (70°31′44″). Cada arco gira 70,53° y el cambio de dirección total es 141,06°.
Construcción. Se traza la paralela a cada recta a 30,0 mm; sobre ella se sitúa C1 y, con radio 2R desde C1, se corta la paralela opuesta (situada a 10,0 mm de la segunda recta): ese corte es C2. T es el punto medio de C1C2.
2. Contrasta la suposición de 45° y el avance de 40,0 mm con el resultado correcto, y responde al taller: ¿hay un radio mínimo por debajo del cual no existe solución? ¿Influye el mínimo de plegado de 12,0 mm o la escala 1:5?
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La suposición de 45° es incompatible con los datos. Con dos arcos de 45° y R = 30,0 mm, el ascenso sería 2·R·(1 − cos 45°) = 2·30,0·0,2929 = 17,58 mm, muy lejos de los 40,0 mm que hay que salvar; y el avance sería 2·R·sen 45° = 42,43 mm, no 40,0 mm. El razonamiento «el avance coincide con la separación» solo es cierto en un caso: exigiendo 2R·sen θ = 2R·(1 − cos θ) se obtiene sen θ = 1 − cos θ, es decir θ = 90° y R = d/2 = 20,0 mm. Para R = 30,0 mm la coincidencia es falsa.
Relación general. La condición geométrica es 2R(1 − cos θ) = d, de donde cos θ = 1 − d/(2R). Para R = 30,0 y d = 40,0: cos θ = 1 − 0,6667 = 1/3, coherente con el apartado anterior (θ = 70,53°). El avance por arco es R·sen θ = 28,28 mm.
Existencia. Debe cumplirse |1 − d/(2R)| ≤ 1, lo que exige R ≥ d/4 = 10,0 mm. En el límite R = 10,0 mm, cos θ = −1, θ = 180° y el avance se anula: la S degenera en una cúspide, sin tangente única. Por tanto hay solución dibujable para R > 10,0 mm, pero no para R ≤ 10,0 mm.
Respuesta al taller. El mínimo de plegado (12,0 mm) es mayor que el mínimo geométrico (10,0 mm), así que cualquier radio admisible por el taller permite resolver la S; el conflicto solo aparecería si el cliente impusiera R < 10,0 mm. La escala 1:5 no interviene en la viabilidad porque d/R es adimensional: el radio real es 30,0 mm (6,0 mm en el dibujo) y el límite de plegado se compara con la medida real, no con la del papel. Aviso de diseño: con R próximo a 10,0 mm la curva es un giro casi completo y el avance tiende a cero, solución formal pero inaceptable visualmente.