Tirante perpendicular a un panel triangular: longitud, anclaje y viabilidad del punto de unión
En el montaje de una exposición se proyecta un panel triangular de chapa como cartel en voladizo. Sus vértices, en milímetros y en el sistema diédrico habitual (X = referencia sobre la línea de tierra, Y = alejamiento, Z = cota), son A(0, 20, 0), B(60, 20, 0) y C(0, 0, 20). Un tirante recto debe unir el punto previsto en el techo, P(20, 30, 30), con el panel según la distancia mínima, es decir, perpendicularmente a él. El jefe de taller quiere saber la longitud exacta del tirante, en qué punto del panel cae el anclaje y si ese punto es viable: exige al menos 15 mm de distancia libre desde el anclaje hasta cualquier borde, porque por debajo de esa cota la tuerca no apoya. El delineante advierte que en las dos proyecciones diédricas el tirante se ve como una recta perpendicular a la línea de tierra y que, por tanto, no puede medir su longitud verdadera directamente.
1. Obtén la ecuación del plano del panel, la longitud del tirante y las coordenadas del punto de anclaje. Explica cómo se representa el tirante en el sistema diédrico y cómo se mide su verdadera magnitud.
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Ecuación del plano. Los tres vértices cumplen Y + Z = 20: A → 20 + 0 = 20; B → 20 + 0 = 20; C → 0 + 20 = 20. Luego el panel está en el plano α: Y + Z − 20 = 0, con trazas α₁ (Z = 0 → Y = 20) y α₂ (Y = 0 → Z = 20), ambas paralelas a la línea de tierra: α es un plano paralelo a la LT.
Longitud. La normal es (0, 1, 1), de módulo √2. Distancia:
d = |30 + 30 − 20| / √2 = 40 / √2 = 28,28 mm
Anclaje. Se avanza desde P en dirección −(0, 1, 1) el parámetro t = (Y + Z − 20)/2 = 20: F = (20, 30 − 20, 30 − 20) = (20, 10, 10) mm. Comprobación: 10 + 10 = 20, luego F pertenece a α.
Representación diédrica. La dirección (0, 1, 1) tiene como proyección horizontal (0, 1) y vertical (0, 1): ambas perpendiculares a la LT. El tirante es una recta de perfil. Ninguna de las dos proyecciones da su verdadera magnitud; hay que abatir un plano de perfil (o hacer un cambio de plano con el nuevo plano paralelo al tirante). Alternativa numérica: la verdadera magnitud es la hipotenusa del triángulo rectángulo cuyos catetos son las diferencias de alejamiento (30 − 10 = 20) y de cota (30 − 10 = 20): √(20² + 20²) = 28,28 mm. El tirante forma 45° con el plano horizontal, coherente con que α sea un plano que bisecta.
2. Comprueba si el anclaje F cumple la condición de 15 mm mínimos a cualquier borde. Si no la cumple, ¿basta con desplazar P? Propón la solución y cuantifícala.
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Posición de F dentro del triángulo. Con F = A + u(B − A) + v(C − A): (60u, 20 − 20v, 20v) = (20, 10, 10) → u = 1/3, v = 1/2, y el tercer peso w = 1 − u − v = 1/6 > 0. F es interior, pero muy próximo a la arista BC.
Distancias a los bordes. La distancia a BC es w·h_A, siendo h_A la altura del triángulo sobre BC:
- Área = ½·|AB × AC| = ½·|(60, 0, 0) × (0, −20, 20)| = ½·1697,06 = 848,53 mm²
- |BC| = √(60² + 20² + 20²) = 66,33 mm → h_A = 2·848,53/66,33 = 25,58 mm
- Distancia a BC = 25,58/6 = 4,26 mm < 15 mm → el anclaje no es viable.
No basta con mover P. Desplazar P a lo largo de la normal deja el pie F en el mismo sitio; y desplazarlo en otra dirección mueve F, pero el triángulo entero es demasiado estrecho. El punto interior más alejado de los tres bordes es el incentro, y su distancia es el inradio: s = (|AB| + |AC| + |BC|)/2 = (60 + 28,28 + 66,33)/2 = 77,31 mm; r = Área/s = 848,53/77,31 = 10,97 mm. Como 10,97 < 15, ningún punto del panel cumple la condición: el problema es el tamaño del panel, no la posición del tirante.
Solución. Ampliar el triángulo (o sustituirlo por un cuadrilátero) hasta que su inradio sea ≥ 15 mm, lo que exige un factor de escala mínimo de 15/10,97 ≈ 1,37, o bien soldar una placa de refuerzo local en la zona del anclaje y anclar sobre ella. Conviene además centrar el anclaje en el incentro para maximizar el margen de montaje.