Retícula mural por inversión: familia de circunferencias y medallón invariante
Para un mural de 2 400 × 1 200 mm se quiere una retícula curvilínea generada por inversión. Se toma como centro de inversión O el centro del mural y como potencia k = R² = 60² = 3 600 mm². Las líneas de la retícula de partida son rectas paralelas, todas perpendiculares al eje horizontal del mural, situadas a 60, 90, 120 y 180 mm de O (a ambos lados). El grafista espera obtener una familia de circunferencias «cada vez más pequeñas» y quiere saber si se solapan, cuántas caben y si el patrón resulta regular. En el centro del mural ya existe un medallón circular grabado, de radio 50 mm, cuyo centro dista 80 mm de O: el cliente exige que la inversión no lo deforme, es decir, que la circunferencia del medallón sea invariante, y pregunta qué potencia habría que emplear para conseguirlo sin mover el medallón.
1. Determina las imágenes de las cuatro rectas, describe el patrón resultante y valora si es regular y si las circunferencias se solapan.
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Imagen de una recta que no pasa por O. Es una circunferencia que pasa por O, con diámetro k/d, centro sobre la perpendicular desde O a la recta y a distancia k/(2d) de O. La tangente en O es paralela a la recta de partida.
Con k = 3 600 mm²:
- d = 60 mm → diámetro 60,0 mm, centro a 30,0 mm
- d = 90 mm → diámetro 40,0 mm, centro a 20,0 mm
- d = 120 mm → diámetro 30,0 mm, centro a 15,0 mm
- d = 180 mm → diámetro 20,0 mm, centro a 10,0 mm
Patrón. Todas pasan por O y son mutuamente tangentes en O (comparten la tangente paralela a las rectas de partida). Como sus diámetros decrecen al crecer d, están anidadas: la de 60 mm contiene a la de 40, la de 30 y la de 20, y no se cortan en ningún otro punto. Las rectas del lado opuesto producen la misma familia simétrica, tangente en O por el otro lado: el resultado es un doble abanico de circunferencias tangentes en el centro del mural.
¿Es regular? No. La sucesión de diámetros k/d no es geométrica ni aritmética: la separación entre circunferencias se comprime hacia el exterior y, sobre todo, hay una acumulación en O, donde la densidad tiende a infinito. Tampoco es periódica, por lo que no se puede repetir por traslación.
Consecuencias de diseño.
- En el centro del mural el trazo se acumula y se convierte en una mancha: el logotipo o el rótulo no pueden ir en O.
- Las rectas situadas más allá de 1 200 mm darían imágenes menores de 3 mm, por debajo de la resolución de impresión: hay que limitar la retícula a las distancias de 60, 90, 120 y 180 mm, o a dos por lado.
- Si se busca regularidad, la inversión no es la transformación adecuada: habría que combinar la inversión con una homotecia de razón k o desplazar O fuera de la composición.
2. El medallón (radio 50 mm, centro a 80 mm de O) debe quedar invariante con la inversión. Calcula la potencia necesaria y valora el efecto sobre la retícula. ¿Qué ocurre si se mantiene k = 3 600 mm²?
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Condición de invariancia. Una circunferencia que no pasa por el centro de inversión se transforma en sí misma si y solo si es ortogonal a la circunferencia de inversión. La condición de ortogonalidad es d² = r² + R², con d = distancia de O al centro del medallón y r su radio.
d² = 80² = 6 400; r² = 50² = 2 500 → R² = 6 400 − 2 500 = 3 900 mm² → R = 62,45 mm
Con esa potencia, cada punto del medallón se transforma en otro punto del mismo medallón: la circunferencia es globalmente invariante, aunque sus puntos se intercambian (los del interior van al exterior y viceversa).
Qué ocurre con k = 3 600 mm². El medallón no es invariante; su imagen es otra circunferencia:
- r′ = k·r/(d² − r²) = 3 600·50/3 900 = 46,15 mm
- d′ = k·d/(d² − r²) = 3 600·80/3 900 = 73,85 mm
Es decir, el medallón se reduce un 7,7 % y su centro se desplaza 6,15 mm hacia O. En un grabado de 100 mm de diámetro, ese error es visible y desalinea el medallón respecto a su eje.
Efecto sobre la retícula. El cambio de potencia no es gratuito: al pasar de 3 600 a 3 900 mm², todas las imágenes crecen en el factor 3 900/3 600 = 1,083. Los nuevos diámetros son 65,0 / 43,3 / 32,5 / 21,7 mm, un 8,3 % mayores, y hay que comprobar que la mayor no invade la zona reservada al texto ni el margen del mural.
Decisión. Si el medallón es un elemento patrimonial que no puede moverse, se adopta R = 62,45 mm y se reajusta la retícula. Si se prefiere conservar la retícula ya aprobada, hay que mover el centro de inversión o redibujar el medallón con la deformación prevista y asumirla en el proyecto, decisión que debe consultarse con el cliente.