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Madrid PAU Technical Drawing Applied to Arts and Design II practice questions

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First 50 of 199 questions. Each one lists the choices, the correct answer, and an explanation. The checker at the top of this page saves progress in this browser when it is available.

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Question 1Plane geometry and geometric constructions applied to design

En una construcción con regla y compás, ¿qué operación define la mediatriz de un segmento AB?

  1. Dividir el segmento AB en tres partes iguales mediante el teorema de Tales
  2. Trazar una recta paralela a AB que pase por su punto medio
  3. Unir el punto medio de AB con un extremo del segmento
  4. Trazar dos arcos de igual radio, mayores que la mitad de AB, con centros en A y B, y unir sus dos puntos de corte Correct answer.

Explanation

La mediatriz es el lugar geométrico de los puntos equidistantes de A y de B. Por eso se trazan arcos de igual radio desde ambos extremos; sus intersecciones equidistan de A y B y determinan la recta perpendicular que pasa por el punto medio.

Question 2Plane geometry and geometric constructions applied to design

Para construir la bisectriz de un ángulo convexo de vértice V, ¿cuál es la secuencia correcta de operaciones?

  1. Trazar dos rectas paralelas a cada lado y unir su intersección con V
  2. Unir V con el punto medio de la cuerda que une los extremos de los lados
  3. Trazar la perpendicular a un lado desde V y bisecar ese segmento
  4. Con centro en V, cortar ambos lados con un mismo arco; con centros en esos cortes, trazar arcos iguales que se corten y unir V con esa intersección Correct answer.

Explanation

La bisectriz es el lugar de puntos equidistantes de los dos lados del ángulo. Al cortar ambos lados con un arco de centro V se obtienen dos puntos equidistantes de V; los arcos trazados desde ellos localizan un punto equidistante de ambos lados, que unido a V da la bisectriz.

Question 3Plane geometry and geometric constructions applied to design

En un diseño se necesita inscribir una circunferencia en un triángulo. ¿Qué punto notable debe usarse como centro y cómo se obtiene?

  1. El baricentro, intersección de las medianas
  2. El incentro, intersección de las bisectrices de los ángulos interiores Correct answer.
  3. El ortocentro, intersección de las alturas
  4. El circuncentro, intersección de las mediatrices de los lados

Explanation

La circunferencia inscrita es tangente a los tres lados, de modo que su centro debe equidistar de ellos. Las bisectrices interiores son el lugar de puntos equidistantes de dos lados, y su intersección, el incentro, equidista de los tres.

Question 4Plane geometry and geometric constructions applied to design

¿Qué propiedad cumple todo punto situado sobre una circunferencia de diámetro AB?

  1. Su distancia a A es siempre el doble que a B
  2. Forma con A y B un ángulo de 60°
  3. Equidista de A y de B
  4. Forma con A y B un ángulo recto Correct answer.

Explanation

Por el teorema del ángulo inscrito, un ángulo que abarca un diámetro mide la mitad de 180°, es decir, 90°. Este hecho es la base del arco capaz de 90° empleado en construcciones de tangentes y triángulos rectángulos.

Question 5Plane geometry and geometric constructions applied to design

Al aplicar una homotecia de centro O y razón k = −0,5 a una figura, ¿qué ocurre con la figura imagen?

  1. Queda en el mismo semiplano que la original y con el doble de tamaño
  2. Se gira 90° alrededor de O manteniendo sus dimensiones
  3. Se traslada sin cambiar de tamaño ni de orientación
  4. Queda en el semiplano opuesto respecto de O, con la mitad de tamaño e invertida Correct answer.

Explanation

En una homotecia, cada punto imagen se sitúa sobre la recta que lo une con el centro, a una distancia multiplicada por |k|. Si k es negativo, la imagen cae al otro lado del centro y la figura resulta invertida; con |k| = 0,5 el tamaño se reduce a la mitad.

Question 6Plane geometry and geometric constructions applied to design

Se quiere construir un triángulo isósceles conocidos el lado desigual AB y la altura h correspondiente a ese lado. ¿Cuál es el procedimiento correcto?

  1. Construir el arco capaz de 90° sobre AB y tomar como vértice un punto cualquiera de ese arco
  2. Dividir AB en tres partes iguales y levantar perpendiculares de altura h en cada división
  3. Trazar desde A una perpendicular a AB de longitud h y unir su extremo con B
  4. Trazar la mediatriz de AB, llevar sobre ella la altura h desde el punto medio y unir ese extremo con A y B Correct answer.

Explanation

En un triángulo isósceles la altura sobre el lado desigual coincide con la mediatriz de ese lado. Por tanto, el vértice opuesto se localiza sobre la mediatriz de AB a la distancia h del punto medio, y basta unirlo con A y B.

Question 7Plane geometry and geometric constructions applied to design

Para trazar las tangentes exteriores a dos circunferencias de radios distintos, ¿qué construcción auxiliar se emplea habitualmente?

  1. Una circunferencia auxiliar de radio igual a la suma de los radios, centrada en el punto medio de los centros
  2. La recta que une los centros, prolongada hasta cortar las circunferencias
  3. Una circunferencia auxiliar centrada en el centro mayor con radio igual a la diferencia de los radios, y tangentes desde el otro centro a ella Correct answer.
  4. El eje radical de las dos circunferencias, que corta a ambas en los puntos de tangencia

Explanation

Al reducir el radio mayor en la diferencia de radios se obtiene una circunferencia auxiliar concéntrica. Las tangentes desde el centro de la circunferencia menor a esa auxiliar dan las direcciones de las tangentes exteriores, que luego se trasladan paralelamente hasta los puntos de tangencia reales.

Question 8Plane geometry and geometric constructions applied to design

En una construcción de tangencias se pide enlazar dos rectas que se cortan mediante un arco de radio R conocido. ¿Dónde se sitúa el centro del arco?

  1. En el punto de intersección de las dos rectas
  2. Sobre la bisectriz del ángulo, a una distancia cualquiera del vértice
  3. En el punto medio del segmento que une los pies de las perpendiculares a las rectas
  4. En la intersección de las paralelas a ambas rectas trazadas a distancia R Correct answer.

Explanation

El centro debe equidistar de las dos rectas una distancia exactamente igual a R. Las paralelas interiores a ambas rectas a distancia R se cortan en el único punto que cumple esa condición, y desde él se trazan las perpendiculares para hallar los puntos de tangencia.

Question 9Plane geometry and geometric constructions applied to design

¿Qué condición debe cumplir un punto P para pertenecer al arco capaz de un segmento AB visto bajo un ángulo α?

  1. Que la distancia de P a A sea igual a la distancia de P a B
  2. Que el ángulo APB sea suplementario de α
  3. Que el ángulo APB mida α y P esté en el arco construido sobre AB con ese ángulo Correct answer.
  4. Que P se sitúe sobre la mediatriz de AB a cualquier distancia

Explanation

El arco capaz es el lugar geométrico de los puntos desde los que un segmento se ve bajo un ángulo constante α. Se construye trazando el ángulo α sobre AB y determinando el centro de la circunferencia que pasa por A, B y el vértice auxiliar.

Question 10Plane geometry and geometric constructions applied to design

Para dividir un segmento AB en cinco partes iguales, ¿qué recurso geométrico se utiliza?

  1. Un haz de rectas paralelas trazado mediante el teorema de Tales sobre una semirrecta auxiliar Correct answer.
  2. La bisectriz del ángulo que forma AB con su perpendicular
  3. La construcción del arco capaz de 180° sobre AB
  4. La mediatriz de AB repetida cinco veces

Explanation

Se traza una semirrecta auxiliar desde A, se marcan cinco segmentos iguales y se une el último con B. Las paralelas a esa unión por las divisiones cortan AB en partes proporcionales, que al ser las divisiones iguales resultan cinco partes iguales.

Question 11Plane geometry and geometric constructions applied to design

En una construcción de escala gráfica, un segmento de 3 cm representa 15 m. ¿Qué longitud en el dibujo corresponde a 40 m?

  1. 12 cm
  2. 9 cm
  3. 6 cm
  4. 8 cm Correct answer.

Explanation

La escala es 3 cm por cada 15 m, es decir, 1 cm por cada 5 m. Para 40 m se necesitan 40/5 = 8 cm en el dibujo, manteniendo la proporción constante.

Question 12Plane geometry and geometric constructions applied to design

Al construir un óvalo isométrico como representación simplificada de una circunferencia en perspectiva isométrica, ¿qué relación se cumple entre sus ejes?

  1. Ambos ejes son iguales, por lo que el óvalo coincide con la circunferencia
  2. El eje menor es el doble del mayor
  3. El eje mayor es igual al diámetro de la circunferencia y el menor es su mitad
  4. El eje mayor mide aproximadamente 1,22 veces el diámetro y el menor 0,71 veces Correct answer.

Explanation

En perspectiva isométrica la circunferencia se transforma en una elipse cuyos ejes guardan con el diámetro D las relaciones aproximadas 1,22D y 0,71D. El óvalo isométrico es una construcción con cuatro arcos que aproxima esa elipse.

Question 13Plane geometry and geometric constructions applied to design

En una perspectiva cónica frontal, ¿qué determina la altura del punto de vista respecto de la línea de horizonte?

  1. La altura del observador y, por tanto, la visión de los objetos desde arriba o desde abajo Correct answer.
  2. El ángulo que forma el plano geometral con el plano del cuadro
  3. La posición del plano del cuadro respecto del objeto
  4. La distancia focal de la cámara utilizada

Explanation

La línea de horizonte se sitúa a la altura de los ojos del observador. Por eso, al variar esa altura cambia la porción visible de los objetos: a mayor altura se aprecian más sus caras superiores, y a menor altura, las inferiores.

Question 14Plane geometry and geometric constructions applied to design

¿Qué caracteriza a una tangencia entre dos circunferencias interiores?

  1. Sus centros y el punto de tangencia están alineados y la distancia entre centros es la diferencia de radios Correct answer.
  2. Sus centros y el punto de tangencia están alineados y la distancia entre centros es la suma de radios
  3. Los centros no están alineados con el punto de tangencia
  4. Las circunferencias se cortan en dos puntos y comparten una cuerda común

Explanation

En toda tangencia, el punto de contacto y los dos centros están alineados. Si una circunferencia es interior a la otra, esa distancia entre centros es la diferencia de los radios, y ambas comparten una tangente en el punto de contacto.

Question 15Plane geometry and geometric constructions applied to design

En una construcción de polígonos regulares, ¿qué método permite inscribir un pentágono regular en una circunferencia de radio dado?

  1. Trazar dos diámetros perpendiculares, hallar el punto medio de un radio y usar ese punto para transportar el lado con el compás Correct answer.
  2. Trazar cinco cuerdas iguales a partir de un vértice cualquiera sin usar el compás
  3. Dividir el diámetro en cinco partes y unir los puntos obtenidos con el centro
  4. Utilizar el arco capaz de 72° sobre el diámetro

Explanation

El método clásico parte de dos diámetros perpendiculares; se halla el punto medio de un radio y, con centro en él, se traza un arco que corta al otro radio. La distancia obtenida es el lado del pentágono, que se transporta con el compás sobre la circunferencia.

Question 16Plane geometry and geometric constructions applied to design

¿Qué transformación geométrica conserva las distancias entre puntos y la forma de las figuras, pero puede invertir su orientación?

  1. La simetría axial Correct answer.
  2. La traslación
  3. La homotecia de razón 2
  4. La proyección cónica

Explanation

La simetría axial es una isometría: conserva longitudes y ángulos, de modo que la figura imagen es congruente con la original. Sin embargo, invierte la orientación, como se observa al reflejar una figura respecto de un eje.

Question 17Plane geometry and geometric constructions applied to design

Al aplicar una simetría central (giro de 180°) a un triángulo respecto de un punto O, ¿qué ocurre con los lados del triángulo imagen?

  1. Son paralelos a los lados correspondientes del original y de igual longitud Correct answer.
  2. Se reducen a la mitad de su longitud
  3. Son perpendiculares a los lados correspondientes del original
  4. Coinciden con los lados originales en todos los casos

Explanation

La simetría central es una isometría que equivale a un giro de 180°. Cada segmento imagen es paralelo al original y conserva su longitud, por lo que la figura resultante es congruente y está invertida respecto del centro.

Question 18Plane geometry and geometric constructions applied to design

En una construcción de tangentes a una circunferencia desde un punto exterior P, ¿qué circunferencia auxiliar se utiliza?

  1. La de centro en P y radio igual al de la circunferencia dada
  2. La de diámetro OP, siendo O el centro de la circunferencia dada Correct answer.
  3. La de centro en O y radio OP
  4. La de centro en el punto medio de OP y radio igual al de la circunferencia dada

Explanation

Los puntos de tangencia se ven desde P bajo un ángulo recto respecto del radio correspondiente. Por el teorema del ángulo inscrito, la circunferencia de diámetro OP corta a la circunferencia dada en los puntos de tangencia buscados.

Question 19Plane geometry and geometric constructions applied to design

Una recta es tangente a una circunferencia en un punto T. ¿Qué relación existe entre el radio OT y la recta tangente?

  1. Forman un ángulo de 45°
  2. Son perpendiculares en T Correct answer.
  3. Son paralelos en T
  4. Forman un ángulo igual al del arco correspondiente

Explanation

El radio que llega al punto de tangencia es siempre perpendicular a la recta tangente. Esta propiedad es la base para construir tangentes y para resolver enlaces entre rectas y arcos en dibujo técnico.

Question 20Plane geometry and geometric constructions applied to design

En una construcción, se pide unir dos puntos A y B mediante un arco de circunferencia de radio R conocido. ¿Cuántas soluciones existen en general?

  1. Ninguna si R es mayor que la mitad de AB
  2. Infinitas, todas con centro sobre la mediatriz de AB
  3. Una sola, con centro en el punto medio de AB
  4. Dos, con centros en la intersección de las circunferencias de radio R trazadas desde A y desde B Correct answer.

Explanation

El centro debe estar a distancia R tanto de A como de B, es decir, en la intersección de dos circunferencias de radio R centradas en A y B. Esa intersección proporciona dos centros simétricos respecto de la mediatriz, salvo cuando R es exactamente la mitad de AB.

Question 21Plane geometry and geometric constructions applied to design

¿Qué propiedad define al eje radical de dos circunferencias?

  1. Es la mediatriz del segmento que une los puntos de intersección
  2. Es el lugar de los puntos que tienen igual potencia respecto de ambas circunferencias Correct answer.
  3. Es la recta tangente común a las dos circunferencias
  4. Es la recta que une sus centros

Explanation

La potencia de un punto respecto de una circunferencia es el producto de las distancias a los puntos de corte de cualquier secante. El eje radical agrupa los puntos con igual potencia para ambas circunferencias y es perpendicular a la recta de centros.

Question 22Plane geometry and geometric constructions applied to design

En un diseño se necesita construir un triángulo rectángulo conocida la hipotenusa AB. ¿Qué lugar geométrico contiene al vértice del ángulo recto?

  1. La bisectriz del ángulo formado por AB y su perpendicular
  2. Una recta paralela a AB a distancia igual a la mitad de AB
  3. La mediatriz de AB
  4. La circunferencia de diámetro AB, excluidos A y B Correct answer.

Explanation

Por el teorema del ángulo inscrito, cualquier punto de la circunferencia de diámetro AB forma un ángulo recto con A y B. Los extremos A y B quedan excluidos porque en ellos el ángulo es degenerado.

Question 23Plane geometry and geometric constructions applied to design

En la construcción de un enlace entre una recta y una circunferencia mediante un arco de radio R, ¿dónde se encuentra el centro del arco de enlace?

  1. En el centro de la circunferencia dada
  2. En el punto de tangencia de la recta con la circunferencia dada
  3. En la intersección de una paralela a la recta a distancia R con una circunferencia concéntrica cuyo radio se ha aumentado o disminuido en R Correct answer.
  4. Sobre la recta, a una distancia R del punto de tangencia

Explanation

El centro del arco de enlace debe distar R de la recta y R de la circunferencia, por lo que se busca en la intersección de una paralela a la recta y una circunferencia concéntrica modificada en R. El signo del ajuste depende de que el enlace sea exterior o interior.

Question 24Plane geometry and geometric constructions applied to design

Al construir un hexágono regular inscrito en una circunferencia, ¿qué relación existe entre el lado del hexágono y el radio?

  1. El lado es igual al radio multiplicado por raíz de tres
  2. El lado es igual a la mitad del radio
  3. El lado es igual al diámetro de la circunferencia
  4. El lado es igual al radio de la circunferencia Correct answer.

Explanation

El hexágono regular se descompone en seis triángulos equiláteros con vértice en el centro, de modo que el lado coincide con el radio. Por eso basta transportar el radio con el compás sobre la circunferencia para obtener los seis vértices.

Question 25Plane geometry and geometric constructions applied to design

En una construcción de proporcionalidad, se conocen tres segmentos a, b y c y se busca el cuarto proporcional d tal que a/b = c/d. ¿Qué procedimiento es válido?

  1. Trazar el arco capaz de 90° sobre el segmento b y medir la cuerda correspondiente
  2. Trazar dos semirrectas desde un vértice, llevar a y b en una y c en la otra, y trazar por el extremo de b una paralela a la recta que une los extremos de a y c Correct answer.
  3. Construir la mediatriz de a y de b y tomar como d la distancia entre ambas
  4. Sumar las longitudes a, b y c y dividir el resultado entre tres

Explanation

El teorema de Tales garantiza que un haz de rectas paralelas corta a dos transversales en segmentos proporcionales. Colocando a y b sobre una semirrecta y c sobre la otra, la paralela por el extremo de b determina sobre la segunda el segmento d que cumple a/b = c/d.

Question 26Plane geometry and geometric constructions applied to design

En una lámina de diseño se pide construir el arco capaz de 60° sobre un segmento AB de 8 cm. ¿Qué ángulo forman las rectas que unen el centro del arco con los extremos A y B?

  1. 90°
  2. 30°
  3. 120° Correct answer.
  4. 60°

Explanation

El ángulo central que abarca la cuerda AB es el doble del ángulo inscrito del arco capaz. Si el arco capaz es de 60°, el ángulo central vale 120°, y el centro se sitúa en la intersección de las mediatrices con los arcos trazados desde A y B con el ángulo dado.

Question 27Plane geometry and geometric constructions applied to design

Se quiere inscribir un cuadrado en una circunferencia de radio R usando solo compás y regla sin graduar. ¿Qué construcción directa proporciona los cuatro vértices?

  1. Trazar dos diámetros perpendiculares entre sí; sus extremos son los vértices Correct answer.
  2. Trazar la mediatriz de un diámetro y usar solo uno de sus extremos
  3. Dividir la circunferencia en seis arcos iguales con el radio R y tomar vértices alternos
  4. Trazar dos diámetros que formen 60°; sus extremos son los vértices

Explanation

El cuadrado inscrito exige que sus diagonales sean diámetros perpendiculares, pues las diagonales de un cuadrado son iguales, se bisecan y son perpendiculares. Los extremos de esos dos diámetros determinan los cuatro vértices y el lado resulta R·√2.

Question 28Plane geometry and geometric constructions applied to design

En una homotecia de centro O y razón k = −0,5 aplicada a un triángulo, ¿qué propiedad se conserva?

  1. La forma y la orientación de los ángulos, invirtiéndose el sentido de los lados respecto de O Correct answer.
  2. Únicamente el área, aunque la figura se deforma
  3. Solo la posición del baricentro, sin relación métrica con la figura original
  4. Las longitudes de los lados, ya que el valor absoluto de la razón es menor que uno

Explanation

Toda homotecia conserva la forma: los lados homólogos son paralelos y los ángulos iguales, de modo que la figura resultante es semejante. Con razón negativa los puntos homólogos quedan al otro lado de O, invirtiendo el sentido, y el factor 0,5 reduce las longitudes a la mitad.

Question 29Plane geometry and geometric constructions applied to design

Se desea enlazar dos circunferencias exteriores de radios r₁ = 2 cm y r₂ = 3 cm mediante un arco de enlace de radio R = 4 cm, tangente exteriormente a ambas. ¿Dónde se localiza el centro del arco de enlace?

  1. En la intersección de las tangentes exteriores comunes a las dos circunferencias dadas
  2. En el punto medio del segmento que une los centros de las dos circunferencias
  3. En la intersección de dos arcos trazados con radios R − r₁ y R − r₂ desde los centros respectivos
  4. En la intersección de dos arcos trazados con radios R + r₁ y R + r₂ desde los centros respectivos Correct answer.

Explanation

Para un enlace tangente exterior a cada circunferencia, la distancia entre el centro del arco de enlace y cada centro dado es la suma de radios. Por eso se trazan arcos de radio R + r₁ y R + r₂, y su intersección es el centro buscado.

Question 30Plane geometry and geometric constructions applied to design

En una construcción de media proporcional, se busca un segmento x tal que x² = a·b, con a = 4 cm y b = 9 cm. ¿Qué valor tiene x y qué construcción lo justifica?

  1. x = 36 cm, obtenido multiplicando a por b sin aplicar raíz alguna
  2. x = 6 cm, obtenido como altura sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos de proyección miden a y b Correct answer.
  3. x = 6,5 cm, obtenido como media aritmética de a y b sobre una recta auxiliar
  4. x = 13 cm, obtenido sumando a y b y dividiendo el total entre dos

Explanation

La media proporcional se apoya en el teorema de la altura: en un triángulo rectángulo, la altura sobre la hipotenusa es media proporcional entre los segmentos en que divide a esta. Situando a y b consecutivos sobre una recta y trazando la semicircunferencia de diámetro a + b, la perpendicular por el punto de unión mide √(a·b) = 6 cm.

Question 31Geometric transformations: homothety, similarity, inversion and their applications

En una homotecia de centro O y razón k = −2, ¿qué le ocurre a un punto P situado a 3 cm de O?

  1. Permanece a 3 cm de O, pero girado 90°.
  2. Se sitúa a 1,5 cm de O, en el rayo opuesto a OP.
  3. Se sitúa a 6 cm de O, en el rayo opuesto a OP. Correct answer.
  4. Se sitúa a 6 cm de O, en el mismo rayo OP.

Explanation

En una homotecia, la distancia al centro se multiplica por el valor absoluto de la razón y el signo negativo invierte el sentido sobre la recta que une O con P. Por tanto OP' = |−2|·3 = 6 cm, medidos en el rayo opuesto. El punto homotético queda alineado con O y P, nunca fuera de esa recta.

Question 32Geometric transformations: homothety, similarity, inversion and their applications

¿Cuál es la condición que define una homotecia de centro O y razón k entre dos figuras?

  1. Que todos los ángulos se conserven y las longitudes se multipliquen por k.
  2. Que las rectas que unen puntos correspondientes sean paralelas entre sí.
  3. Que cada punto P y su imagen P' verifiquen que el vector OP' = k·OP. Correct answer.
  4. Que la figura imagen sea siempre semejante pero de distinta orientación.

Explanation

La definición vectorial de homotecia exige que el centro O sea fijo y que cada vector de posición respecto de O se multiplique por la razón k. De ahí se deducen el paralelismo entre segmentos correspondientes y la conservación de ángulos. Las demás opciones describen consecuencias o propiedades de otras transformaciones.

Question 33Geometric transformations: homothety, similarity, inversion and their applications

Dos triángulos son semejantes con razón de semejanza 3/2. Si el área del menor es 20 cm², ¿cuál es el área del mayor?

  1. 30 cm²
  2. 45 cm² Correct answer.
  3. 40 cm²
  4. 60 cm²

Explanation

En figuras semejantes las áreas varían con el cuadrado de la razón de semejanza. Por tanto A' = 20·(3/2)² = 20·9/4 = 45 cm². Multiplicar el área por la razón simple sería un error conceptual frecuente.

Question 34Geometric transformations: homothety, similarity, inversion and their applications

En una inversión de centro O y potencia de inversión K = 8 cm², ¿a qué distancia de O se sitúa la imagen de un punto P que dista 4 cm de O?

  1. 4 cm
  2. 32 cm
  3. 0,5 cm
  4. 2 cm Correct answer.

Explanation

La inversión cumple OP·OP' = K, de modo que OP' = K/OP = 8/4 = 2 cm. La imagen queda sobre la recta OP, en el mismo lado del centro cuando K es positivo. La relación entre distancias es inversamente proporcional, no proporcional.

Question 35Geometric transformations: homothety, similarity, inversion and their applications

¿Qué transformación del plano hace corresponder a cada punto P otro punto P' alineado con un centro O tal que OP·OP' = K, con K constante positiva?

  1. Una simetría central respecto de O.
  2. Una homotecia de razón K.
  3. Una traslación de vector K·OP.
  4. Una inversión de centro O. Correct answer.

Explanation

La condición OP·OP' = K con puntos alineados con O es exactamente la definición de inversión de centro O y potencia K. La homotecia multiplicaría la distancia por una razón constante, no por un factor que depende de la distancia original. La simetría central duplicaría la distancia y la traslación no conserva la alineación con O.

Question 36Geometric transformations: homothety, similarity, inversion and their applications

En una homotecia de razón k = 1, ¿qué ocurre con cualquier figura del plano?

  1. Coincide consigo misma, punto a punto. Correct answer.
  2. Se refleja respecto del centro O.
  3. Se amplía al doble de su tamaño.
  4. Se reduce a la mitad de su tamaño.

Explanation

Con k = 1 la relación vectorial OP' = 1·OP da OP' = OP para todo punto, de modo que la imagen coincide con la figura original: es la homotecia identidad. Cualquier otro valor de k modifica distancias o invierte el sentido.

Question 37Geometric transformations: homothety, similarity, inversion and their applications

¿Qué propiedad comparten la homotecia y la inversión respecto de las rectas que pasan por su centro O?

  1. Ambas giran cada recta por O un ángulo igual a la razón.
  2. Ambas dejan invariante globalmente cada recta que pasa por O. Correct answer.
  3. Ambas convierten cualquier recta por O en una recta paralela distinta.
  4. Ambas transforman toda recta por O en una circunferencia que pasa por O.

Explanation

En ambas transformaciones la imagen de un punto queda sobre la recta que lo une con O, por lo que toda recta que pasa por el centro se aplica sobre sí misma como conjunto. La circunferencia imagen aparece en la inversión solo para rectas que no pasan por O. La homotecia nunca convierte una recta en circunferencia.

Question 38Geometric transformations: homothety, similarity, inversion and their applications

Un segmento AB de 6 cm se transforma mediante una homotecia de razón k = −1/2. ¿Cuál es la longitud del segmento imagen A'B'?

  1. 6 cm
  2. 12 cm
  3. 1,5 cm
  4. 3 cm Correct answer.

Explanation

La longitud de un segmento homotético es |k| veces la longitud original, ya que el signo solo afecta al sentido. Así, |−1/2|·6 = 3 cm. El segmento imagen es paralelo al original y de sentido contrario.

Question 39Geometric transformations: homothety, similarity, inversion and their applications

En una inversión de centro O y potencia K, ¿qué le ocurre a una recta r que no pasa por O?

  1. Se transforma en otra recta paralela a r.
  2. Se transforma en una circunferencia que pasa por O. Correct answer.
  3. Se transforma en una recta que pasa por O.
  4. Se transforma en una circunferencia con centro en O.

Explanation

La inversión envía una recta que no pasa por el centro a una circunferencia que sí pasa por O, y recíprocamente. El diámetro de esa circunferencia que contiene a O es perpendicular a r. Una recta por O, en cambio, se transforma en sí misma.

Question 40Geometric transformations: homothety, similarity, inversion and their applications

Dos figuras semejantes tienen perímetros de 15 cm y 25 cm. ¿Cuál es la razón de semejanza entre la figura menor y la mayor?

  1. 9/25
  2. 5/3
  3. 25/9
  4. 3/5 Correct answer.

Explanation

En figuras semejantes los perímetros son longitudes y, por tanto, son proporcionales a la razón de semejanza. La razón pedida, de la menor a la mayor, es 15/25 = 3/5. Las razones 9/25 y 25/9 serían válidas para áreas, no para perímetros.

Question 41Geometric transformations: homothety, similarity, inversion and their applications

En una homotecia de centro O y razón k = 3, un punto A dista 2 cm de O y un punto B dista 5 cm de O, estando O, A y B alineados en ese orden. ¿Qué distancia hay entre las imágenes A' y B'?

  1. 15 cm
  2. 6 cm
  3. 3 cm
  4. 9 cm Correct answer.

Explanation

Las distancias al centro se multiplican por la razón: OA' = 6 cm y OB' = 15 cm. Como los puntos conservan la alineación y el orden con k positiva, A'B' = OB' − OA' = 15 − 6 = 9 cm. Equivale a aplicar la razón a la distancia original AB = 3 cm.

Question 42Geometric transformations: homothety, similarity, inversion and their applications

Se aplica primero una homotecia de centro O y razón 2 y después otra homotecia del mismo centro O y razón 3. ¿Cuál es la transformación resultante?

  1. Una traslación de vector 6·OP.
  2. Una homotecia de centro O y razón 5.
  3. Una homotecia de centro O y razón 6. Correct answer.
  4. Una homotecia de centro O y razón 3/2.

Explanation

La composición de dos homotecias con el mismo centro es otra homotecia de ese centro cuya razón es el producto de las razones. Aquí 2·3 = 6, ya que cada vector de posición se multiplica sucesivamente por 2 y por 3. La suma de razones correspondería a una operación incorrecta.

Question 43Geometric transformations: homothety, similarity, inversion and their applications

En una inversión de centro O y potencia K = 16 cm², un punto P dista 2 cm de O. ¿Cuál es la distancia OP' de su imagen?

  1. 8 cm Correct answer.
  2. 2 cm
  3. 16 cm
  4. 4 cm

Explanation

La relación de inversión OP·OP' = K permite despejar OP' = K/OP = 16/2 = 8 cm. La imagen queda sobre la recta OP y se aleja del centro cuando el punto original está próximo a él. Cuanto menor es OP, mayor es OP'.

Question 44Geometric transformations: homothety, similarity, inversion and their applications

¿Qué puntos del plano quedan fijos en una inversión de centro O y potencia K positiva?

  1. Los dos puntos de la recta OP que distan √K de O, sobre cualquier dirección. Correct answer.
  2. Todos los puntos de la circunferencia de radio K centrada en O.
  3. Únicamente el centro O de la inversión.
  4. Ningún punto del plano queda fijo.

Explanation

Un punto es fijo cuando OP = OP', es decir, cuando OP² = K y por tanto OP = √K. Esto describe la circunferencia de centro O y radio √K, llamada circunferencia de puntos dobles. El centro O no tiene imagen finita, por lo que no es un punto fijo.

Question 45Geometric transformations: homothety, similarity, inversion and their applications

Un triángulo rectángulo tiene catetos de 3 cm y 4 cm. Se construye otro semejante a él con hipotenusa de 15 cm. ¿Cuánto miden sus catetos?

  1. 9 cm y 12 cm Correct answer.
  2. 7,5 cm y 10 cm
  3. 12 cm y 16 cm
  4. 6 cm y 8 cm

Explanation

La hipotenusa del triángulo original mide 5 cm, de modo que la razón de semejanza es 15/5 = 3. Aplicando esa razón a los catetos resultan 3·3 = 9 cm y 4·3 = 12 cm. La proporción entre catetos se conserva en toda figura semejante.

Question 46Geometric transformations: homothety, similarity, inversion and their applications

¿Qué relación existe entre una homotecia de razón negativa y una simetría central respecto del mismo centro?

  1. La homotecia de razón negativa es siempre una simetría axial.
  2. Una homotecia de razón −1 coincide con la simetría central de ese centro. Correct answer.
  3. Son la misma transformación para cualquier valor negativo de la razón.
  4. No guardan relación: la homotecia nunca invierte el sentido.

Explanation

Con k = −1 la relación OP' = −OP indica que P' es el simétrico de P respecto de O, es decir, la homotecia coincide con la simetría central. Para otras razones negativas hay además un escalado, por lo que no son idénticas. La homotecia de razón negativa invierte la orientación sin ser una simetría axial.

Question 47Geometric transformations: homothety, similarity, inversion and their applications

En una inversión de centro O, ¿qué figura es la imagen de una circunferencia que pasa por O?

  1. Una recta que pasa por O.
  2. Una recta que no pasa por O. Correct answer.
  3. Una elipse con un foco en O.
  4. Otra circunferencia que también pasa por O.

Explanation

La inversión es involutiva y establece una correspondencia entre rectas que no pasan por O y circunferencias que pasan por O. Por tanto, la imagen de una circunferencia por O es una recta exterior al centro, perpendicular al diámetro que contiene a O. Aplicar dos veces la inversión devuelve la figura original.

Question 48Geometric transformations: homothety, similarity, inversion and their applications

En una homotecia de centro O, el punto A' es imagen de A con OA' = 9 cm y OA = 6 cm. Si B dista 4 cm de O, ¿cuánto dista su imagen B'?

  1. 7 cm
  2. 2,67 cm
  3. 6 cm Correct answer.
  4. 13,5 cm

Explanation

La razón de la homotecia es k = OA'/OA = 9/6 = 1,5. Aplicándola a B, se obtiene OB' = 1,5·4 = 6 cm, siempre sobre la recta OB. La razón se determina con un par de puntos correspondientes y se aplica a cualquier otro punto.

Question 49Geometric transformations: homothety, similarity, inversion and their applications

Un plano de una pieza está dibujado a escala 1:20 y en el dibujo una arista mide 35 mm. ¿Cuál es la longitud real de esa arista?

  1. 175 mm
  2. 70 mm
  3. 7000 mm
  4. 700 mm Correct answer.

Explanation

La escala 1:20 es una razón de semejanza entre dibujo y realidad, de modo que la medida real es 20 veces la del dibujo: 35·20 = 700 mm, es decir, 70 cm. La escala actúa como razón de una homotecia entre el modelo y el objeto.

Question 50Geometric transformations: homothety, similarity, inversion and their applications

¿Qué condición debe cumplir el centro O para que una homotecia transforme una circunferencia en otra circunferencia concéntrica con la primera?

  1. Que O esté situado en el exterior de la circunferencia.
  2. Que O sea un punto cualquiera de la circunferencia.
  3. Que O esté sobre una recta tangente a la circunferencia.
  4. Que O coincida con el centro de la circunferencia. Correct answer.

Explanation

Si el centro de homotecia es el centro de la circunferencia, todos los puntos se escalan radialmente y la imagen es otra circunferencia con el mismo centro. Si O es exterior o pertenece a la circunferencia, la imagen es una circunferencia no concéntrica con la original. La concentricidad exige, por tanto, que los centros coincidan.