Verdadera magnitud y distancia mínima: el ángulo que no es el que parece
En la lámina de diédrico se dan los puntos A(A′ = (25, 20), A″ = (25, 55)) y B(B′ = (85, 70), B″ = (85, 15)), con coordenadas expresadas en milímetros como (x; alejamiento) en planta y (x; cota) en el alzado. Hay que situar un bulón perpendicular a AB que arranque en el punto P(60, 10, 30) y soldarlo en el punto de AB más próximo a P. Dos alumnos discrepan: uno mide el ángulo de AB con el plano horizontal sobre el alzado, entre A″B″ y la línea de tierra, y obtiene 33,7°; el otro sostiene que el ángulo real es 27,0° y que hay que medirlo tras un giro o un cambio de plano. El profesor exige además la distancia real entre P y la recta AB y advierte de que no se puede medir en ninguna de las dos proyecciones, porque en ambas aparece deformada.
1. Obtén la longitud verdadera de AB y su ángulo con el plano horizontal, describiendo la construcción en diédrico.
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Datos: Δx = 60, Δy = 50, Δz = 55 − 15 = 40 mm.
Proyección horizontal: A′B′ = √(60² + 50²) = √6100 = 78,10 mm (no es la longitud real porque A y B tienen cotas distintas).
Longitud verdadera: hipotenusa del triángulo rectángulo formado por la proyección horizontal y el desnivel: L = √(78,10² + 40²) = √(6100 + 1600) = √7700 = 87,75 mm.
Ángulo con el PH: sen α = 40 / 87,75 → α = 27,03°.
Construcción: girar AB alrededor de un eje vertical que pase por A hasta que A′B′ quede paralela a la línea de tierra. Un giro en torno a un eje vertical conserva las cotas, por lo que A″ no se mueve en altura y B″ solo se desplaza horizontalmente; en el nuevo alzado el segmento aparece en verdadera magnitud y su ángulo con la línea de tierra es exactamente α. Alternativa equivalente: cambio de plano vertical con el nuevo plano paralelo a A′B′.
2. Explica qué mide realmente el ángulo de 33,7° obtenido en el alzado y en qué condiciones coincidiría con el ángulo pedido.
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El ángulo que forma A″B″ con la línea de tierra tiene tangente Δz/Δx = 40/60 = 0,6667 → 33,69°. Pero A″B″ es la proyección de AB sobre el plano vertical, no la recta AB: esa proyección solo conserva las componentes x y z y ha perdido el alejamiento (Δy = 50 mm). Por tanto 33,69° es la inclinación de la proyección, no la de la recta.
Coincidiría con el ángulo real únicamente si Δy = 0, es decir, si AB fuese paralela al plano vertical; en ese caso la proyección vertical tendría la misma longitud que el segmento.
Tampoco debe confundirse con el ángulo que AB forma con el plano vertical, que vale arcsen(50/87,75) = 34,7°, un valor numéricamente próximo pero conceptualmente distinto.
Regla práctica: la dirección de una recta queda fijada por dos ángulos y ninguno de los dos se lee directamente en las proyecciones salvo que la recta sea paralela a uno de los planos de proyección.
3. Describe cómo se determina en diédrico la distancia de P a la recta AB y da el valor de control que debe alcanzar la construcción.
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Construcción:
- Trazar un plano π que contenga a P y sea perpendicular a AB (se apoya en una recta horizontal o frontal del plano para controlar la perpendicularidad).
- Hallar Q = AB ∩ π, ayudándose de un plano proyectante auxiliar que contenga a AB.
- El segmento PQ es la distancia buscada, pero es oblicuo a los dos planos de proyección, así que hay que girarlo o hacer un cambio de plano hasta ponerlo paralelo a uno de ellos para medirlo en verdadera magnitud.
Valor de control (verificación analítica): u = AB = (60, 50, −40), |u| = 87,75; AP = (35, −10, −25). AP × u = (−1650, 100, −2350) → |AP × u| = 2873,2. d = 2873,2 / 87,75 = 32,74 mm.
Comprobación por Pitágoras: |AP|² = 1950; proyección de AP sobre AB = (AP·u)/|u| = 2600/87,75 = 29,63; d = √(1950 − 877,9) = 32,74 ✓.
El punto Q queda a 29,63 mm de A medidos sobre AB, no sobre su proyección; si la construcción gráfica no da Q en esa posición, el error está en el abatimiento o en la perpendicularidad del plano.