Carenado troncocónico: elegir el plano de corte antes de desarrollar
Se proyecta un carenado troncocónico de revolución: base circular de Ø80 mm apoyada en el plano horizontal, eje vertical de 70 mm de altura y vértice en el punto más alto. La pieza debe cortarse con un plano que produzca una sección elíptica cerrada, porque la brida de unión se genera a partir de esa curva. En el primer boceto el plano de corte se ha inclinado 65° respecto al plano horizontal y pasa por el punto medio del eje; el resultado no es una elipse y el despiece no cierra. Se pide reconsiderar la inclinación, calcular el ángulo límite y desarrollar la superficie lateral del tronco resultante, sabiendo que la chapa se corta en un sector circular y que el taller necesita la longitud de la generatriz y el ángulo del sector con dos decimales. El diámetro del carenado no puede modificarse por razones de ensamblaje con la bancada.
1. Justifica por qué el plano inclinado 65° no produce una elipse y calcula el ángulo límite de inclinación.
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Semiángulo del cono en el vértice: tan α = 40/70 → α = 29,74° (ángulo entre generatriz y eje).
Criterio de clasificación: llamando φ a la inclinación del plano de corte respecto a la base (φ = 90° − ángulo con el eje):
- φ = 0° → circunferencia.
- φ < 90° − α → elipse.
- φ = 90° − α → parábola.
- φ > 90° − α → hipérbola (curva abierta).
Ángulo límite: 90° − 29,74° = 60,26°. Como 65° > 60,26°, la sección es una rama de hipérbola: la curva no se cierra, sale por la base y la brida no puede generarse a partir de ella.
Comprobación por trazas (más intuitiva para el taller): con el plano z = (t − x)·tan φ, para que la sección no corte la base su traza debe ser exterior al círculo base (t > 40) y para que corte al cono debe pasar por debajo del vértice (t·tan φ < 70 → t < 70/tan φ). Con φ = 65°: t < 32,6 y t > 40, incompatible → no existe elipse posible, sea cual sea la posición del plano. Con φ = 55°: 40 < t < 49,0, sí hay solución.
2. Elige una inclinación admisible y comprueba que existe una posición del plano que dé una elipse completa, indicando el intervalo de validez.
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Se adopta φ = 55° (margen de 5,26° respecto al límite, suficiente para absorber tolerancias de mecanizado).
Con φ = 55°, tan φ = 1,428. Condiciones:
- La traza no debe cortar la base: t > 40 mm.
- El plano debe pasar por debajo del vértice: t · 1,428 < 70 → t < 49,02 mm.
Intervalo válido: 40 < t < 49,02 mm. Se elige t = 45 mm, que deja 5 mm de margen por cada lado.
Comprobación del punto más bajo de la elipse: con t = 45, el plano vale z = (45 − x)·1,428; en el punto de la elipse de mayor x (próximo a la base) z > 0 por construcción, y en el extremo opuesto el plano pasa por debajo del vértice (45 · 1,428 = 64,3 < 70). La sección es, por tanto, una elipse cerrada íntegramente contenida en la superficie lateral.
Advertencia de taller: si se sube la inclinación hasta 60°, el intervalo se reduce a 40 < t < 40,4, es decir, el plano pasa casi por el vértice y la elipse degenera en un punto; no es una solución práctica aunque sea teóricamente elíptica.
3. Calcula los datos del desarrollo de la superficie lateral y explica cómo se traslada la curva de sección al desarrollo.
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Generatriz del cono completo: L = √(40² + 70²) = √6500 = 80,62 mm. Radio del sector desarrollado: igual a la generatriz, 80,62 mm. Ángulo del sector: n = 360° · R / L = 360 · 40 / 80,62 = 178,62° (comprobación: longitud del arco desarrollado = 2π·40 = 251,33 mm; arco del sector = 2π·80,62·178,62/360 = 251,3 ✓).
Traslado de la curva de sección: la elipse no se puede medir en la proyección oblicua. Para cada generatriz se determina la distancia real del vértice al punto de sección girando esa generatriz hasta la generatriz de contorno (donde la longitud se ve en verdadera magnitud) y se lleva esa distancia sobre la generatriz correspondiente del desarrollo, medida desde el vértice hacia el arco.
El contorno del desarrollo de la pieza queda limitado por: el arco de radio 80,62 mm, dos generatrices extremas separadas 178,62° y la curva de sección, que no es una recta ni un arco de circunferencia; se traza punto a punto con un mínimo de 12 puntos (los dos extremos de la elipse, los de máxima y mínima distancia al vértice y los de las generatrices intermedias).