Geometría plana: construcciones, cónicas, tangencias y transformaciones
Este bloque del PAU de Dibujo Técnico II pide construcciones exactas con regla y compás (mediatriz, bisectriz, arco capaz, rectificaciones), el trazado de cónicas a partir de sus elementos y problemas de tangencia, casi siempre combinados con homotecia, homología, afinidad o inversión.
Tangencias: dos condiciones resuelven casi todo
- El centro de una circunferencia tangente a una recta está en una paralela a esa recta a distancia igual al radio, o en la perpendicular por el punto de tangencia.
- Si dos circunferencias son tangentes, centros y punto de tangencia están alineados, y la distancia entre centros vale r1 + r2 (exterior) o |r1 − r2| (interior).
- Circunferencia tangente a dos rectas: centro en una de las bisectrices. Tangente a recta y circunferencia: se reduce al caso recta-recta sumando o restando el radio de la dada.
- Rectas tangentes a una circunferencia desde un punto exterior: el arco capaz de 90° sobre el segmento punto-centro corta a la circunferencia en los puntos de tangencia.
Cónicas
- Elipse: PF1 + PF2 = 2a; se construye por puntos con arcos de radios r y 2a − r. La tangente en P es la bisectriz exterior de los radios vectores.
- Parábola: d(P,F) = d(P,directriz); la tangente biseca el ángulo entre PF y la paralela al eje por P.
- Hipérbola: |PF1 − PF2| = 2a; las asíntotas pasan por el centro y por las esquinas del rectángulo 2a × 2b.
Ejemplo resuelto
Circunferencia tangente a los lados de un ángulo de vértice V que pasa por un punto interior P. Se traza la bisectriz y una circunferencia auxiliar cualquiera tangente a ambos lados, con centro O1 en la bisectriz. La recta VP corta a la auxiliar en P1 y P2. Una homotecia de centro V que lleva P1 a P transforma O1 en O, centro buscado; el radio es la distancia de O a cualquiera de los lados. La homotecia desde el vértice conserva las tangencias, y por eso el método funciona y da dos soluciones (con P1 y con P2).
Errores que restan puntos
Dibujar la solución sin líneas de construcción ni puntos de tangencia marcados; olvidar la segunda solución (la otra bisectriz o la otra rama); confundir tangencia interior y exterior al aplicar r1 − r2; y no comprobar que el punto de tangencia está en la perpendicular al radio.