Mathématiques : fonctions, dérivées, probabilités et statistiques appliquées au Technique
L'épreuve de mathématiques vérifie la capacité à modéliser une situation technique (évolution d'une consommation, fiabilité d'un composant, réglage d'un capteur) puis à justifier un résultat. Le programme s'organise autour des fonctions d'une variable réelle (limites, dérivées, exponentielle, logarithme), du calcul intégral, des suites numériques, des statistiques descriptives et des probabilités. La calculatrice est autorisée, mais une valeur affichée sans justification ne rapporte pas les points de méthode.
Outils indispensables
- Dérivées : (uv)' = u'v + uv', (u/v)' = (u'v - uv')/v², (e^u)' = u'e^u, (ln u)' = u'/u.
- Signe de f' donne les variations de f ; f'(x) = 0 avec changement de signe donne un extremum.
- Exponentielle et logarithme sont réciproques : e^a = b équivaut à a = ln b, pour b > 0.
- Intégrale : aire sous la courbe, valeur moyenne sur [a ; b] égale à (1/(b-a))∫f.
- Probabilités : P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) ; loi binomiale de paramètres n et p, P(X = k) = C(n,k) p^k (1-p)^(n-k).
- Statistiques : moyenne, médiane, écart type, ajustement affine par moindres carrés.
Exemple travaillé
Soit f(x) = x·e^(-x) sur [0 ; +∞[. On pose u = x et v = e^(-x), donc u' = 1 et v' = -e^(-x). Le produit donne f'(x) = e^(-x) + x(-e^(-x)) = e^(-x)(1 - x). Comme e^(-x) > 0, le signe de f' est celui de (1 - x) : positif sur [0 ; 1[, nul en 1, négatif au-delà. f croît puis décroît : le maximum vaut f(1) = 1·e^(-1) ≈ 0,368. La limite en +∞ est 0, car l'exponentielle décroissante l'emporte sur la croissance linéaire. Conclusion rédigée : la grandeur modélisée culmine pour x = 1 avec une valeur d'environ 0,37.
Pièges fréquents
Oublier l'ensemble de définition avant de dériver ; se tromper de signe sur la dérivée de e^(-x) ; confondre degrés et radians en trigonométrie ; traiter P(A∩B) comme P(A∪B) ; supposer deux événements indépendants sans que l'énoncé le dise ; donner un résultat non arrondi alors que la consigne impose deux décimales ; oublier l'unité ou la conclusion en français.