Le séchoir de Kindia : quelle offre signer ?
À Kindia, la coopérative de séchage de mangues « Fouta-Solaire » rassemble 48 productrices. Le relevé de ses coûts totaux annuels de production, en millions de francs guinéens (GNF), pour q tonnes de mangues séchées, donne : q = 2 → 14 ; q = 5 → 26 ; q = 8 → 38. Le séchoir a été financé par un emprunt de 20 millions GNF à 9 % l'an, remboursable en trois annuités sensiblement égales, soit une charge moyenne d'environ 7,9 millions GNF par an. Deux acheteurs se présentent. L'offre A : 9 millions GNF la tonne, sans engagement. L'offre B : 5 millions GNF la tonne, plus une prime annuelle garantie de 18 millions GNF quel que soit le tonnage livré. La capacité du séchoir est de 6 tonnes par an, mais les récoltes des trois dernières années ont varié entre 3 et 6 tonnes. La trésorière propose d'accepter l'offre A « puisque 9 est plus grand que 5 », tandis que le président veut prévoir une extension à 20 tonnes l'an prochain en prolongeant la droite des coûts.
1. Montrer que les trois relevés sont compatibles avec un modèle affine C(q) = aq + b, déterminer a et b, puis comparer les deux offres pour une livraison de 6 tonnes et pour une livraison de 3 tonnes.
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Déterminer le modèle. Entre q = 2 et q = 5, la pente vaut (26 − 14)/(5 − 2) = 12/3 = 4. Entre q = 5 et q = 8 : (38 − 26)/3 = 4. La pente est constante : les trois points sont alignés et un modèle affine convient. Avec q = 2 : 14 = 4×2 + b, donc b = 6. D'où C(q) = 4q + 6 (millions GNF, q en tonnes) : 4 millions de coût variable par tonne, 6 millions de charges fixes.
Comparer les offres. Recette A = 9q ; recette B = 5q + 18. Profit A = 9q − (4q + 6) = 5q − 6 ; profit B = (5q + 18) − (4q + 6) = q + 12. À 6 t : A = 30 − 6 = 24 M ; B = 6 + 12 = 18 M. À 3 t : A = 15 − 6 = 9 M ; B = 3 + 12 = 15 M. Les deux offres couvrent l'annuité de 7,9 M, mais l'ordre s'inverse selon le tonnage. Le seuil d'indifférence est 5q − 6 = q + 12, soit q = 4,5 t. L'argument « 9 > 5 » compare des prix unitaires en oubliant la prime fixe de B : il n'est valable qu'au-delà de 4,5 t.
2. La coopérative estime avoir une chance sur deux de récolter 3 tonnes et une chance sur deux de récolter 6 tonnes. Calculer l'espérance de profit de chaque offre, puis recommander un choix en justifiant ; le trésorier veut savoir si le calcul suffit à décider.
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Calculer les espérances. E(A) = 0,5×9 + 0,5×24 = 4,5 + 12 = 16,5 M. E(B) = 0,5×15 + 0,5×18 = 7,5 + 9 = 16,5 M. Les deux espérances sont égales : le critère de l'espérance ne départage pas les offres.
Décider autrement. Il faut regarder le risque, c'est-à-dire l'écart entre les résultats possibles. L'offre A donne soit 9 M, soit 24 M : en année mauvaise, il ne reste que 9 − 7,9 = 1,1 M de marge pour l'entretien du séchoir et les imprévus. L'offre B donne 15 M ou 18 M : la marge est de 7,1 M minimum, jamais moins. Une coopérative sans trésorerie de réserve, qui ne peut pas emprunter en cas de mauvaise année, a donc intérêt à choisir B : elle renonce à un gain possible de 6 M pour supprimer le risque de ne pas rembourser. Si au contraire la coopérative dispose d'un fonds de sécurité, A est préférable car elle rapporte 24 M les bonnes années.
Limite du calcul. Les probabilités 1/2 et 1/2 reposent sur trois récoltes seulement : elles sont subjectives. Le calcul éclaire le choix, il ne le détermine pas seul.
3. Le président veut extrapoler C(q) = 4q + 6 jusqu'à 20 tonnes. Expliquer pourquoi ce prolongement est risqué, en vous appuyant sur les hypothèses du modèle et sur les contraintes du séchoir.
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Repérer la validité du modèle. Le modèle a été calé sur des observations allant de 2 à 8 tonnes, alors que la capacité du séchoir est de 6 tonnes : les points au-delà de 6 t décrivent déjà une situation que l'installation ne produit pas normalement. Un modèle affine suppose un coût variable constant par tonne et des charges fixes constantes. Or, à 20 t, il faudrait au minimum un deuxième séchoir, donc de nouvelles charges fixes qui font « sauter » le b = 6.
Anticiper les coûts cachés. Au-delà d'un certain tonnage, le coût par tonne monte : main-d'œuvre supplémentaire, énergie de séchage, pertes par fermentation faute de place, transport, stockage. Rien de tout cela n'est proportionnel.
Conclure. Le calcul 4×20 + 6 = 86 M n'a aucune valeur prédictive : c'est un prolongement hors du domaine de validité. La coopérative doit d'abord mesurer les coûts réels à 8 ou 10 tonnes, puis ajuster un modèle par paliers. Une prévision d'extension se fait sur des données nouvelles, jamais sur la simple prolongation d'une droite.