Sanduk na kosini, trenje i opruga
Sanduk mase 2,5 kg pušten je iz mirovanja s vrha kosine visine 1,2 m. Kut kosine prema vodoravnoj podlozi je 30°, a koeficijent trenja između sanduka i kosine iznosi 0,20. Na dnu kosina glatko prelazi u vodoravnu podlogu, tako da sanduk na samom prijelazu ne gubi mehaničku energiju. Na vodoravnoj podlozi, 1,5 m od podnožja kosine, nalazi se lagana opruga konstante 800 N/m. Koeficijent trenja na vodoravnoj podlozi je 0,15. Sanduk se nakon udarca u oprugu na trenutak zaustavlja, a zatim se vraća. Pretpostavite da je opruga idealna, da je masa opruge zanemariva i da se opruga pri sabijanju ne zagrijava, ali da trenje djeluje cijelim putem. Ubrzanje zbog gravitacije je 9,81 m/s². Zanemarite otpor zraka, rotaciju sanduka i dimenzije sanduka. Uzmite da je koeficijent statičkog trenja jednak kinetičkom.
1. Izračunajte najveću kompresiju opruge. Navedite bilančnu jednadžbu energije i objasnite svaki član.
Read the worked answer
Duljina kosine je L = h/sin30° = 1,2/0,5 = 2,4 m. Rad trenja na kosini je W_t1 = μ1 m g cos30° L = 0,20·2,5·9,81·0,866·2,4 = 10,2 J. Gravitacijska potencijalna energija na vrhu je E_p = mgh = 2,5·9,81·1,2 = 29,4 J. Kinetička energija pri dnu kosine je E_k1 = 29,4 - 10,2 = 19,2 J. Do opruge sanduk prijeđe 1,5 m, pa trenje oduzme W_t2 = 0,15·2,5·9,81·1,5 = 5,5 J. Pri dodiru opruge kinetička energija je 13,7 J. Pri najvećoj kompresiji x brzina je nula, pa je 13,7 = 1/2·k·x² + μ2mgx = 400x² + 3,68x. Pozitivno rješenje je x = 0,181 m. Član 1/2kx² je elastična energija opruge, a μ2mgx rad trenja na putu x. Na vodoravnom dijelu gravitacijska potencijalna energija se ne mijenja.
2. Hoće li se sanduk odbiti od opruge? Ako hoće, odredite gdje će se konačno zaustaviti. Obrazložite odluku o odbijanju.
Read the worked answer
Pri najvećoj kompresiji sila opruge je kx = 800·0,181 = 145 N, a sila trenja μ2mg = 3,68 N. Uz pretpostavku da je statičko trenje jednako kinetičkom, opruga savladava trenje i pokreće sanduk natrag. Elastična energija pri najvećoj kompresiji je 1/2kx² = 13,1 J. Do prirodne duljine trenje oduzme μ2mgx = 0,67 J, pa pri napuštanju opruge preostaje 12,4 J. Do podnožja kosine pređe 1,5 m i trenje oduzme 5,5 J, pa na dnu ima 6,9 J. Uspinjanjem uz kosinu energiju troše gravitacija i trenje: mg sin30° + μ1mg cos30° = 12,3 + 4,2 = 16,5 N. Put do zaustavljanja je s = 6,9/16,5 = 0,42 m. Na tom mjestu komponenta teže niz kosinu (12,3 N) veća je od trenja (4,2 N), pa se sanduk vrati. Pri silasku gravitacija daje 5,1 J, a trenje oduzme 1,8 J, pa na dnu ima 3,3 J. Na vodoravnom dijelu trenje je 3,68 N, pa pređe 3,3/3,68 = 0,91 m i zaustavi se prije opruge, 0,91 m od podnožja kosine.
3. Je li opravdano zanemariti masu opruge pri računu najveće kompresije? Kako bi masivna opruga promijenila rezultat?
Read the worked answer
Zanemarivanje masa opruge opravdano je ako je masa opruge mnogo manja od 2,5 kg. Kod masivne opruge dio kinetičke energije sanduka prelazi u kinetičku energiju dijelova opruge, a dio se disipira u unutarnjim deformacijama. Zbog toga bi stvarna najveća kompresija bila manja od 0,181 m. U naprednijem modelu opruga se tretira kao sustav s raspodijeljenom masom, a njezina efektivna masa približno je m_op/3. Ako ta masa nije zanemariva prema masi sanduka, jednostavna energetska jednadžba 1/2kx² = E_k više nije dovoljna. Za školsku procjenu zanemarivanje je prihvatljivo samo uz jasno navedenu pretpostavku m_op ≪ 2,5 kg.