Stojni val na struni s promjenjivom napetosti
Na horizontalnoj struni duljine 1,50 m, učvršćenoj na oba kraja, stojni valovi pobuđuju se pomoću generatora podesive frekvencije. Preko kolotura na kraju strune visi uteg mase 0,250 kg. Pri frekvenciji 120 Hz učenik broji četiri trbuha, odnosno četiri pola vala, između čvorova na krajevima strune. Masa strune je zanemariva u usporedbi s masom utega, a dio strune između kolotura i utega ne sudjeluje u titranju. Ubrzanje sile teže je 9,81 m/s². Učenik zatim zamijeni uteg utegom dvostruko veće mase i ponovno postavi frekvenciju na 120 Hz. Očekuje da će se ponovno uspostaviti stojni val s istim brojem trbuha jer se napetost samo udvostručila. Provjerite to očekivanje i odredite koja bi se frekvencija najbliža 120 Hz mogla pobuditi stojni val s cijelim brojem trbuha. Trenje u koloturu i savijanje strune preko kolotura zanemarite.
1. Odredite linearnu gustoću strune i brzinu vala pri prvom mjerenju.
Read the worked answer
Pri četiri trbuha duljina strune odgovara četirima poluvalovima: L = n·λ/2, pa je λ = 2L/n = 2·1,50/4 = 0,750 m. Brzina vala je v = f·λ = 120·0,750 = 90,0 m/s. Napetost strune dolazi od utega: T = mg = 0,250·9,81 = 2,45 N. Linearna gustoća je μ = T/v² = 2,45/90,0² = 3,03×10⁻⁴ kg/m. Provjera jedinica: N/(m/s)² = kg/m, što odgovara linearnoj gustoći.
2. Provjerite učenikovo očekivanje nakon udvostručenja mase utega. Odredite frekvenciju najbližu 120 Hz pri kojoj bi se mogao uspostaviti stojni val.
Read the worked answer
Nakon zamjene utega napetost je T₂ = 2·2,45 = 4,91 N. Brzina vala je v₂ = √(T₂/μ) = √(4,91/3,03×10⁻⁴) = 127 m/s. Pri 120 Hz valna duljina bila bi λ = v₂/f = 127/120 = 1,06 m. Potreban broj poluvalova je n = 2L/λ = 3,00/1,06 = 2,83, što nije cijeli broj, pa pri 120 Hz nema stojnog vala. Najbliži cijeli broj je n = 3. Frekvencija za njega je f = n·v₂/(2L) = 3·127/3,00 = 127 Hz. Učenikovo očekivanje nije točno: udvostručenje napetosti poveća brzinu √2 puta, pa se pri istoj frekvenciji promijeni valna duljina i broj trbuha mora ostati cijeli.
3. Ako se nakon zamjene utega frekvencija polako mijenja od 100 Hz do 140 Hz, koje će se rezonancije moći uočiti? Obrazložite.
Read the worked answer
Rezonancije nastupaju kada je f = n·v₂/(2L) = n·127/3,00 = 42,4·n Hz, gdje je n prirodan broj. U području od 100 Hz do 140 Hz provjerimo cijele brojeve: n = 2 daje 84,9 Hz, n = 3 daje 127 Hz, a n = 4 daje 170 Hz. Zato će se u tom području uočiti samo jedna rezonancija, približno pri 127 Hz. Pri 120 Hz stojni val nije moguć jer bi broj poluvalova bio 2,83. Time se potvrđuje da se rezonantne frekvencije ne dobivaju samo množenjem početne frekvencije, nego ovise o brzini vala i cijelom broju poluvalova.