Laba Harian Koperasi Siswa: Optimasi Dua Paket Bekal
Koperasi siswa menjual dua paket bekal sehat dengan persediaan bahan yang terbatas setiap hari. Paket A berisi roti isi dan satu kotak susu; labanya Rp2.500 per paket, memakai 3 takar tepung dan 1 kotak susu. Paket B berisi dua roti isi dan dua kotak susu; labanya Rp4.000 per paket, memakai 2 takar tepung dan 2 kotak susu. Gudang hanya menyediakan 60 takar tepung dan 40 kotak susu per hari, dan keduanya tidak dapat disimpan sampai besok. Semua paket yang diproduksi selalu habis terjual pada hari itu. Jumlah paket harus bilangan bulat karena tidak ada setengah paket, dan tidak ada batas jumlah Paket B. Pengurus koperasi ingin laba harian maksimum. Kepala sekolah menimbang membatasi Paket A paling banyak 8 buah per hari agar variasi menu tetap terjaga, meskipun ia belum menghitung akibatnya pada laba. Harga bahan tidak berubah; yang mungkin berubah hanyalah laba per paket B bila harga jualnya disesuaikan.
1. Rumuskan kendala yang berlaku, lalu tentukan komposisi produksi yang memaksimumkan laba harian. Tunjukkan mengapa jawabanmu optimal.
Read the worked answer
Model. Misalkan A dan B adalah jumlah paket yang dibuat.
- Tepung: 3A + 2B ≤ 60
- Susu: A + 2B ≤ 40
- A ≥ 0, B ≥ 0, bilangan bulat
- Laba: L = 2.500A + 4.000B
Titik pojok.
- (0, 0) → 0
- (20, 0) → Rp50.000 (tepung habis)
- (0, 20) → Rp80.000 (susu habis)
- Perpotongan: 3A + 2B = 60 dan A + 2B = 40 → 2A = 20 → A = 10, B = 15 → Rp25.000 + Rp60.000 = Rp85.000
Mengapa optimal. Fungsi laba linear dan daerah layak berupa poligon cembung, sehingga nilai maksimum pasti tercapai di titik pojok. Karena (10, 15) bernilai bulat, titik itu juga layak sebagai solusi bilangan bulat, dan tidak ada titik bulat lain di sekitarnya yang lebih baik. Perhatikan bahwa pada (10, 15) kedua sumber daya habis terpakai: 3(10) + 2(15) = 60 dan 10 + 2(15) = 40.
Jawaban: 10 Paket A dan 15 Paket B, laba Rp85.000 per hari.
2. Jika kepala sekolah memberlakukan batas Paket A maksimal 8 buah, berapa laba optimum yang baru dan berapa kerugian hariannya?
Read the worked answer
Tambahkan kendala A ≤ 8 dan periksa ulang titik pojok yang masih layak.
- (10, 15) tidak lagi layak karena A = 10 > 8.
- (0, 20) tetap layak → Rp80.000.
- Dengan A = 8, kendala susu menjadi 8 + 2B ≤ 40 → B ≤ 16. Kendala tepung 3(8) + 2B ≤ 60 → B ≤ 18, jadi susu yang mengikat.
- Kandidat terbaik dengan A = 8 adalah B = 16: laba 8(2.500) + 16(4.000) = Rp20.000 + Rp64.000 = Rp84.000.
Kerugian = Rp85.000 − Rp84.000 = Rp1.000 per hari, atau sekitar Rp30.000 per bulan sekolah (30 hari).
Yang menarik, batas itu tidak hanya mengurangi laba; ia mengubah pola pemakaian bahan. Pada solusi baru, susu tetap habis (8 + 32 = 40) tetapi tepung tersisa 60 − 24 − 32 = 4 takar setiap hari. Jadi kerugiannya kecil tetapi sistematis, dan sisa tepung itu bisa menjadi peluang produk tambahan berbiaya rendah. Kepala sekolah perlu menimbang apakah variasi menu memang bernilai lebih dari Rp1.000 sehari.
3. Manajemen ingin tahu seberapa jauh laba per Paket B boleh berubah tanpa menggeser komposisi optimum 10 Paket A dan 15 Paket B. Tentukan rentangnya.
Read the worked answer
Misalkan laba Paket B adalah p rupiah, sedangkan laba Paket A tetap Rp2.500. Nilai di titik optimum menjadi 25.000 + 15p. Komposisi (10, 15) bertahan sebagai optimum selama nilainya tidak kalah dari titik pojok lain yang bersaing.
Batas atas - dibandingkan dengan (0, 20): 25.000 + 15p ≥ 20p → 25.000 ≥ 5p → p ≤ 5.000. Pada p = 5.000 kedua titik bernilai Rp100.000 (seri), jadi di atas angka itu seluruh produksi sebaiknya diisi Paket B.
Batas bawah - dibandingkan dengan (20, 0): 25.000 + 15p ≥ 50.000 → 15p ≥ 25.000 → p ≥ 1.666,67, dibulatkan ke rupiah utuh menjadi 1.667. Di bawah itu, memproduksi 20 Paket A saja lebih menguntungkan.
Rentang: Rp1.667 ≤ laba Paket B ≤ Rp5.000.
Cara membaca hasil ini: titik optimum tidak berubah karena kemiringan garis laba masih berada di antara kemiringan dua kendala. Jika harga jual Paket B turun melewati batas bawah, strategi berubah total, bukan sekadar bergeser sedikit - inilah yang perlu diperiksa manajemen sebelum menaikkan atau memotong harga.