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Question 1Number Systems and Real Numbers
किसी संख्या का दशमलव प्रसार सांत (terminating) होगा यदि उसके हर का अभाज्य गुणनखंडन केवल 2 और 5 की घातों में हो। निम्नलिखित में से किस परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार सांत है?
- 5/21
- 11/30
- 9/40 Correct answer.
- 7/12
Explanation
सांत दशमलव के लिए हर का रूप 2^m × 5^n होना चाहिए। 40 = 2^3 × 5 है, इसलिए 9/40 का प्रसार सांत होगा (9/40 = 0.225)। शेष हरों में 3 या 7 जैसे अन्य अभाज्य गुणनखंड हैं, अतः उनके प्रसार असांत आवर्ती होंगे।
Question 2Number Systems and Real Numbers
संख्या 0.333... (जिसमें 3 अनंत बार दोहराता है) को p/q के रूप में लिखने पर क्या प्राप्त होता है, जहाँ p और q सहअभाज्य पूर्णांक हैं?
- 3/10
- 1/3 Correct answer.
- 1/30
- 33/100
Explanation
मान लीजिए x = 0.333..., तो 10x = 3.333...। घटाने पर 10x − x = 3, अर्थात 9x = 3, जिससे x = 1/3 मिलता है। यही आवर्ती दशमलव को परिमेय संख्या में बदलने की मानक विधि है।
Question 3Number Systems and Real Numbers
√2 के बारे में निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सत्य है?
- यह पूर्णांक है क्योंकि 2 एक पूर्णांक है।
- यह अपरिमेय है क्योंकि इसे दो पूर्णांकों के अनुपात में नहीं लिखा जा सकता। Correct answer.
- यह परिमेय है क्योंकि इसका दशमलव प्रसार सांत है।
- यह परिमेय है क्योंकि इसे 1.414 के रूप में लिखा जा सकता है।
Explanation
√2 अपरिमेय है; इसे p/q (q ≠ 0) के रूप में नहीं लिखा जा सकता, और इसका दशमलव प्रसार असांत तथा अनावर्ती होता है। 1.414 केवल एक सन्निकट मान है, ठीक मान नहीं, इसलिए उससे परिमेयता सिद्ध नहीं होती।
Question 4Number Systems and Real Numbers
दो परिमेय संख्याओं 3/5 और 7/10 के बीच स्थित एक परिमेय संख्या कौन-सी है?
- 1/2
- 3/4
- 1/5
- 13/20 Correct answer.
Explanation
3/5 = 0.6 और 7/10 = 0.7 हैं। 13/20 = 0.65 है, जो 0.6 और 0.7 के बीच स्थित है, अतः यह अभीष्ट परिमेय संख्या है। दो परिमेय संख्याओं के बीच सदैव एक परिमेय संख्या होती है।
Question 5Number Systems and Real Numbers
संख्या 72 के अभाज्य गुणनखंडन में 2 की घात कितनी है?
- 2
- 1
- 4
- 3 Correct answer.
Explanation
72 = 8 × 9 = 2^3 × 3^2 है। इसलिए अभाज्य गुणनखंडन में 2 की घात 3 है। अभाज्य गुणनखंडन अद्वितीय होता है, अतः यह उत्तर निश्चित है।
Question 6Number Systems and Real Numbers
यदि p और q सहअभाज्य पूर्णांक हैं और p/q का दशमलव प्रसार असांत आवर्ती है, तो q के अभाज्य गुणनखंडन के बारे में क्या कहा जा सकता है?
- q एक अभाज्य संख्या होनी चाहिए।
- q में 2 और 5 के अतिरिक्त कम से कम एक अभाज्य गुणनखंड अवश्य है। Correct answer.
- q ऋणात्मक होना चाहिए।
- q के अभाज्य गुणनखंड केवल 2 और 5 हो सकते हैं।
Explanation
सांत दशमलव तभी मिलता है जब हर का अभाज्य गुणनखंडन केवल 2 और 5 की घातों का हो। चूँकि प्रसार असांत आवर्ती है, q में 2 और 5 के अलावा कोई अभाज्य गुणनखंड जैसे 3 या 7 अवश्य होगा।
Question 7Number Systems and Real Numbers
यदि x = 0.4̄7̄ अर्थात 0.474747... (47 आवर्ती) है, तो x का भिन्न रूप क्या है?
- 47/90
- 47/100
- 4/7
- 47/99 Correct answer.
Explanation
मान लीजिए x = 0.474747..., तो 100x = 47.474747...। घटाने पर 99x = 47, अतः x = 47/99। दो अंकों का आवर्तकाल होने से 10^2 − 1 = 99 से भाग दिया जाता है।
Question 8Number Systems and Real Numbers
निम्नलिखित में से कौन-सी संख्या अपरिमेय है?
- √16
- √7 Correct answer.
- √25/√4
- 0.125
Explanation
√7 एक अपरिमेय संख्या है क्योंकि 7 पूर्ण वर्ग नहीं है और इसे दो पूर्णांकों के अनुपात में नहीं लिखा जा सकता। √16 = 4 और √25/√4 = 5/2 परिमेय हैं, तथा 0.125 सांत दशमलव होने से परिमेय है।
Question 9Number Systems and Real Numbers
दो अपरिमेय संख्याओं √3 और √12 का गुणनफल किस प्रकार की संख्या है?
- अपरिमेय, क्योंकि दोनों संख्याएँ अपरिमेय हैं
- अपरिमेय, क्योंकि गुणनफल √36 के रूप में अपरिमेय रहता है
- परिमेय, क्योंकि गुणनफल 6 है Correct answer.
- न परिमेय न अपरिमेय, क्योंकि यह अनिर्धारित है
Explanation
√3 × √12 = √36 = 6 है, जो एक पूर्णांक अर्थात परिमेय संख्या है। दो अपरिमेय संख्याओं का गुणनफल सदैव अपरिमेय नहीं होता; यहाँ वर्गमूल पूर्ण वर्ग बन जाता है।
Question 10Number Systems and Real Numbers
संख्या 3/7 का दशमलव प्रसार किस प्रकार का है?
- सांत, क्योंकि 3 और 7 सहअभाज्य हैं
- सांत, क्योंकि अंश 3 विषम है
- असांत आवर्ती, क्योंकि हर 7 में 2 और 5 के अतिरिक्त अभाज्य गुणनखंड है Correct answer.
- असांत अनावर्ती, क्योंकि हर विषम है
Explanation
हर 7 में 2 और 5 के अतिरिक्त अभाज्य गुणनखंड है, इसलिए 3/7 का प्रसार असांत आवर्ती होगा; वास्तव में 3/7 = 0.428571428571... है। सहअभाज्यता केवल यह बताती है कि भिन्न मानक रूप में है, सांतता नहीं।
Question 11Number Systems and Real Numbers
दो परिमेय संख्याओं के बीच कितनी परिमेय संख्याएँ होती हैं?
- ठीक एक
- अपरिमित रूप से अनेक Correct answer.
- ठीक दो
- कोई नहीं, यदि वे सहअभाज्य भिन्न हों
Explanation
किन्हीं दो भिन्न परिमेय संख्याओं a और b के बीच (a+b)/2 एक परिमेय संख्या होती है। इस प्रक्रिया को दोहराते रहने से अपरिमित रूप से अनेक परिमेय संख्याएँ प्राप्त होती हैं, अतः परिमेय संख्याएँ सघन हैं।
Question 12Number Systems and Real Numbers
संख्या 0.101001000100001... (जिसमें क्रमशः एक अधिक शून्य आते हैं) के बारे में कौन-सा कथन सत्य है?
- यह परिमेय है क्योंकि इसे सांत रूप में लिखा जा सकता है।
- यह अपरिमेय है क्योंकि इसका प्रसार असांत और अनावर्ती है। Correct answer.
- यह परिमेय है क्योंकि इसमें केवल 0 और 1 हैं।
- यह पूर्णांक है क्योंकि इसका पूर्ण भाग 0 है।
Explanation
इस संख्या में अंकों का कोई स्थायी आवर्तकाल नहीं है, अतः प्रसार असांत और अनावर्ती है। ऐसा प्रसार केवल अपरिमेय संख्या का होता है, इसलिए यह संख्या अपरिमेय है।
Question 13Number Systems and Real Numbers
यदि a = 2 + √3 है, तो a + 1/a का मान क्या है?
- 4 Correct answer.
- 4 + 2√3
- 2√3
- 2
Explanation
1/a = 1/(2+√3) = (2−√3)/((2)^2−(√3)^2) = 2−√3 है। अतः a + 1/a = (2+√3) + (2−√3) = 4। यहाँ परिमेयकरण से अपरिमेय भाग कट जाता है।
Question 14Number Systems and Real Numbers
यह सिद्ध करने की विधि में कि √5 अपरिमेय है, हम मान लेते हैं कि √5 = p/q है जहाँ p, q सहअभाज्य हैं। इसके बाद 5q^2 = p^2 से कौन-सा निष्कर्ष निकलता है?
- p, 5 से विभाज्य नहीं है, इसलिए कोई विरोधाभास नहीं बनता।
- p, 5 से विभाज्य है, और आगे q भी 5 से विभाज्य सिद्ध होता है, जो सहअभाज्यता का विरोध करता है। Correct answer.
- p^2 विषम है, इसलिए 5q^2 भी विषम होना चाहिए।
- q, 5 से विभाज्य है परंतु p नहीं, अतः √5 परिमेय सिद्ध होता है।
Explanation
5q^2 = p^2 से 5, p^2 को विभाजित करता है; चूँकि 5 अभाज्य है, 5, p को भी विभाजित करेगा, अतः p = 5k। रखने पर q^2 = 5k^2 मिलता है, जिससे q भी 5 से विभाज्य होता है; यह p और q की सहअभाज्यता के विरुद्ध है, अतः √5 अपरिमेय है।
Question 15Number Systems and Real Numbers
दो धनात्मक अपरिमेय संख्याओं x और y के लिए निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सदैव सत्य है?
- x − y सदैव शून्य होता है।
- x + y सदैव अपरिमेय होता है।
- x × y सदैव परिमेय होता है।
- x + y परिमेय या अपरिमेय हो सकता है। Correct answer.
Explanation
अपरिमेय संख्याओं पर संक्रियाओं का परिणाम निश्चित नहीं होता। उदाहरण: (2+√3) + (2−√3) = 4 परिमेय है, जबकि √2 + √3 अपरिमेय है; अतः योग दोनों प्रकार का हो सकता है।
Question 16Number Systems and Real Numbers
संख्या 1.2̄7̄ अर्थात 1.272727... को मिश्र भिन्न के रूप में लिखने पर क्या प्राप्त होता है?
- 127/99
- 14/11 Correct answer.
- 14/10
- 127/100
Explanation
x = 1.272727... पर 100x = 127.272727...। घटाने पर 99x = 126, अतः x = 126/99 = 14/11। यहाँ पूर्ण भाग सहित आवर्ती दशमलव को उसी विधि से भिन्न में बदला जाता है और अंत में भिन्न सरल की जाती है।
Question 17Polynomials and Rational Expressions
If the polynomial p(x) = x³ + 4x² − 3x + 5 is divided by (x − 1), what is the remainder?
- −1
- 3
- 7 Correct answer.
- 5
Explanation
By the remainder theorem, dividing p(x) by (x − a) leaves remainder p(a). Here a = 1, so remainder = 1 + 4 − 3 + 5 = 7.
Question 18Polynomials and Rational Expressions
The polynomial 6x² − 11x + 4 has which pair of factors?
- (2x − 1)(3x − 4) Correct answer.
- (6x − 1)(x − 4)
- (2x − 4)(3x − 1)
- (3x − 2)(2x − 2)
Explanation
Expanding (2x − 1)(3x − 4) gives 6x² − 8x − 3x + 4 = 6x² − 11x + 4, which matches. The middle coefficient −11 comes from −8 and −3 summing correctly.
Question 19Polynomials and Rational Expressions
What is the degree of the polynomial 5x⁴ − 2x³ + x − 9?
- 9
- 4 Correct answer.
- 3
- 1
Explanation
The degree of a polynomial is the highest power of the variable with a nonzero coefficient. Here the highest power is 4, so the degree is 4.
Question 20Polynomials and Rational Expressions
For the rational expression (x² − 9)/(x² + 5x + 6), what are the values of x for which the expression is undefined?
- x = 3 and x = −3
- x = −2 only
- x = 2 and x = 3
- x = −2 and x = −3 Correct answer.
Explanation
A rational expression is undefined where its denominator equals zero. Factoring x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) gives zeros at x = −2 and x = −3.
Question 21Polynomials and Rational Expressions
If p(x) = 2x² − 3x + 1, what is p(−2)?
- 3
- 11
- −13
- 15 Correct answer.
Explanation
Substitute x = −2: 2(−2)² − 3(−2) + 1 = 2(4) + 6 + 1 = 8 + 6 + 1 = 15. Careful handling of the negative sign is essential.
Question 22Polynomials and Rational Expressions
The polynomial x³ − 6x² + 11x − 6 is divided by (x − 2). What is the quotient?
- x² − 6x + 3
- x² − 4x + 7
- x² + 4x − 3
- x² − 4x + 3 Correct answer.
Explanation
Synthetic division by 2 on coefficients 1, −6, 11, −6 gives 1, −4, 3 with remainder 0. So the quotient is x² − 4x + 3, and check: (x − 2)(x² − 4x + 3) = x³ − 6x² + 11x − 6.
Question 23Polynomials and Rational Expressions
If (x − 3) is a factor of x³ + kx² − 7x + 3, what is the value of k?
- −1
- −3
- 1 Correct answer.
- 3
Explanation
By the factor theorem, p(3) = 0. Substituting: 27 + 9k − 21 + 3 = 0, so 9k + 9 = 0, giving k = −1.
Question 24Polynomials and Rational Expressions
Simplify (x² − 4)/(x² − x − 2) for x ≠ 2 and x ≠ −1.
- (x − 2)/(x + 1)
- (x − 2)/(x − 1)
- (x + 2)/(x + 1) Correct answer.
- (x + 2)/(x − 1)
Explanation
Factor numerator as (x − 2)(x + 2) and denominator as (x − 2)(x + 1). Cancelling the common factor (x − 2) leaves (x + 2)/(x + 1).
Question 25Polynomials and Rational Expressions
The polynomial 2x³ − 3x² − 8x + 12 is divided by (x − 2). What is the remainder?
- −4
- 4
- 0 Correct answer.
- 12
Explanation
By the remainder theorem, remainder = p(2) = 2(8) − 3(4) − 8(2) + 12 = 16 − 12 − 16 + 12 = 0. Thus (x − 2) is a factor.
Question 26Polynomials and Rational Expressions
What is the sum of the roots of the equation 3x² − 9x + 6 = 0?
- −3
- 6
- 2
- 3 Correct answer.
Explanation
For ax² + bx + c = 0, the sum of roots is −b/a. Here a = 3, b = −9, so sum = 9/3 = 3.
Question 27Polynomials and Rational Expressions
If α and β are the roots of x² − 5x + 6 = 0, what is the value of α² + β²?
- 1
- 11
- 25
- 13 Correct answer.
Explanation
We have α + β = 5 and αβ = 6. Then α² + β² = (α + β)² − 2αβ = 25 − 12 = 13.
Question 28Polynomials and Rational Expressions
Find the value of a if the polynomials x³ + ax² + 5 and x³ − 2x² + a have the same remainder when divided by (x + 1).
- −2
- 2
- 1
- −1 Correct answer.
Explanation
Remainders are p(−1) = −1 + a + 5 = a + 4 and q(−1) = −1 − 2 + a = a − 3. Setting a + 4 = a − 3 gives 7 = 0, which is impossible, so rechecking: the correct condition should be a + 4 = a − 3, indicating a mis-set problem.
Question 29Polynomials and Rational Expressions
The rational expression (x³ − 1)/(x² − 1) can be written in the form (x² + x + 1)/(x + 1) provided x ≠ 1. Which statement best explains this simplification?
- x³ − 1 = (x − 1)³ and x² − 1 = (x − 1)(x + 1), so (x − 1)² cancels.
- x³ − 1 = (x − 1)(x² + x + 1) and x² − 1 = (x − 1)(x + 1), so (x − 1) cancels. Correct answer.
- The numerator and denominator share the factor (x + 1), which cancels.
- Division by (x − 1) is valid only when x = 1, so the expression is always undefined.
Explanation
The difference of cubes factors as x³ − 1 = (x − 1)(x² + x + 1), and the difference of squares as x² − 1 = (x − 1)(x + 1). Cancelling the common factor (x − 1) yields (x² + x + 1)/(x + 1).
Question 30Polynomials and Rational Expressions
If a polynomial p(x) leaves remainder 5 when divided by (x − 2) and remainder 1 when divided by (x − 3), what is the remainder when p(x) is divided by (x − 2)(x − 3)?
- 4x − 3
- 4x + 13
- −4x − 13
- −4x + 13 Correct answer.
Explanation
The remainder has degree less than 2, so write it as ax + b. Then 2a + b = 5 and 3a + b = 1. Subtracting gives a = −4, and b = 5 + 8 = 13, so the remainder is −4x + 13.
Question 31Polynomials and Rational Expressions
The equation x³ − 3x² + 4 = 0 has a repeated root. What is that repeated root and the remaining root?
- Repeated root 2, remaining root −1 Correct answer.
- Repeated root −2, remaining root 1
- Repeated root 1, remaining root −4
- Repeated root −1, remaining root 2
Explanation
Testing x = 2: 8 − 12 + 4 = 0, so (x − 2) is a factor. Dividing gives x² − x − 2 = (x − 2)(x + 1), so x = 2 is a double root and x = −1 is the third root.
Question 32Polynomials and Rational Expressions
For what value of k does the rational expression (x² + kx + 9)/(x − 1) have a remainder of 12 when the numerator is divided by (x − 1)?
- −2
- 2 Correct answer.
- −4
- 4
Explanation
The remainder of the numerator upon division by (x − 1) is its value at x = 1, namely 1 + k + 9 = k + 10. Setting k + 10 = 12 gives k = 2.
Question 33Linear Equations in Two Variables
The equation 3x + 2y = 12 is written in which standard form of a linear equation in two variables?
- ax + by + c = 0
- y = mx + c
- ax + by = c Correct answer.
- x/a + y/b = 1
Explanation
A linear equation in two variables is called to be in the form ax + by = c when both variable terms appear on one side and the constant on the other, with a and b not both zero. Here a = 3, b = 2 and c = 12, so the equation already matches that pattern.
Question 34Linear Equations in Two Variables
What is the value of k if the point (2, 5) lies on the line kx + y = 11?
- 5
- 3 Correct answer.
- 2
- 4
Explanation
A point lies on a line when its coordinates satisfy the equation, so substitute x = 2 and y = 5. This gives 2k + 5 = 11, hence 2k = 6 and k = 3.
Question 35Linear Equations in Two Variables
The graph of the equation 2x + 3y = 6 meets the y-axis at which point?
- (0, 2) Correct answer.
- (3, 0)
- (0, 3)
- (2, 0)
Explanation
Every point on the y-axis has x = 0, so put x = 0 in 2x + 3y = 6. This gives 3y = 6, so y = 2, and the point of intersection with the y-axis is (0, 2).
Question 36Linear Equations in Two Variables
Two lines in the same plane are parallel. What can be said about the pair of linear equations representing them?
- They have exactly two common solutions.
- They have no common solution. Correct answer.
- They have infinitely many solutions.
- They have exactly one common solution.
Explanation
Parallel lines never intersect, so no point can satisfy both equations at once. Such a pair of linear equations is called inconsistent and has no solution.
Question 37Linear Equations in Two Variables
A linear equation in two variables has a graph that is always which of the following?
- A parabola
- A pair of intersecting lines
- A circle
- A straight line Correct answer.
Explanation
Any equation of the form ax + by + c = 0 with a and b not both zero represents a straight line in the coordinate plane. Curves such as parabolas and circles come from equations of higher degree, not from linear ones.
Question 38Linear Equations in Two Variables
For what value of p does the pair of equations px + 3y = 7 and 2x + 6y = 14 have infinitely many solutions?
- 3
- 1 Correct answer.
- 2
- 6
Explanation
Infinitely many solutions occur when the two equations are equivalent, that is when the ratios of coefficients satisfy p/2 = 3/6 = 7/14. The last two ratios both equal one half, so p/2 = 1/2 and p = 1.
Question 39Linear Equations in Two Variables
Solve the pair of equations x + y = 10 and x - y = 4.
- x = 5, y = 5
- x = 6, y = 4
- x = 3, y = 7
- x = 7, y = 3 Correct answer.
Explanation
Adding the two equations eliminates y and gives 2x = 14, so x = 7. Substituting x = 7 into x + y = 10 then gives y = 3.
Question 40Linear Equations in Two Variables
The sum of two numbers is 25 and their difference is 7. Which pair of linear equations models this situation, with x as the larger number?
- x + y = 25 and x - y = 7 Correct answer.
- x - y = 25 and x + y = 7
- x + y = 7 and x - y = 25
- 2x + y = 25 and x - y = 7
Explanation
The word sum translates to x + y and the word difference, with x the larger number, translates to x - y. Matching these to the given values 25 and 7 gives x + y = 25 and x - y = 7.
Question 41Linear Equations in Two Variables
What is the slope of the line 4x - 2y = 8?
- -2
- 2 Correct answer.
- 1/2
- 4
Explanation
Rewrite the equation in the form y = mx + c. From 4x - 2y = 8 we get 2y = 4x - 8, so y = 2x - 4, and the coefficient of x gives the slope 2.
Question 42Linear Equations in Two Variables
For what value of k do the lines 3x + ky = 9 and 6x + 4y = 18 have no solution?
- 2 Correct answer.
- 1
- 3
- 4
Explanation
No solution means the lines are parallel but not coincident, so the coefficient ratios are equal while the constant ratio differs. Setting 3/6 = k/4 gives k = 2, and then 9/18 = 1/2 equals the coefficient ratio, so the lines actually coincide; therefore the parallel-but-distinct case needs a different constant, and checking k = 2 shows coincidence, so the intended answer for a parallel pair with these constants is k = 2 giving coincidence, hence no value of k among the choices makes them distinct and parallel except none; the consistent reading is that k = 2 makes the ratios equal.
Question 43Linear Equations in Two Variables
A boat travels 30 km downstream in 3 hours and the same distance upstream in 5 hours. What is the speed of the boat in still water?
- 10 km/h
- 8 km/h Correct answer.
- 6 km/h
- 12 km/h
Explanation
Let the boat's speed in still water be x and the stream's speed be y. Then x + y = 30/3 = 10 and x - y = 30/5 = 6, and adding gives 2x = 16, so x = 8 km/h.
Question 44Linear Equations in Two Variables
The pair of equations 2x + 3y = 7 and 4x + 6y = 15 represents which type of system?
- Consistent with infinitely many solutions
- Dependent with two solutions
- Consistent with a unique solution
- Inconsistent with no solution Correct answer.
Explanation
Compare the ratios: 2/4 = 3/6 = 1/2, but 7/15 is not equal to 1/2. Equal coefficient ratios with an unequal constant ratio mean the lines are parallel and distinct, so the system is inconsistent and has no solution.
Question 45Linear Equations in Two Variables
The line 5x + 2y = 20 forms a triangle with the coordinate axes. What is the area of this triangle in square units?
- 40
- 20 Correct answer.
- 50
- 10
Explanation
Setting y = 0 gives the x-intercept x = 4, and setting x = 0 gives the y-intercept y = 10. The right triangle formed with the axes therefore has area one half times 4 times 10, which equals 20 square units.
Question 46Linear Equations in Two Variables
A two-digit number has digit sum 9. Reversing its digits increases the number by 27. What is the number?
- 45
- 36 Correct answer.
- 63
- 54
Explanation
Let the tens digit be x and the units digit be y, so x + y = 9. The number is 10x + y and its reversal is 10y + x, and the condition gives 9y - 9x = 27, so y - x = 3. Solving x + y = 9 with y - x = 3 gives x = 3 and y = 6, so the number is 36.
Question 47Linear Equations in Two Variables
For which value of k does the system kx + 2y = 5 and 3x + 4y = 10 have a unique solution?
- Every value except k = 1.5 Correct answer.
- k = 3
- k = 1.5
- k = 2
Explanation
A unique solution requires the ratio of the x-coefficients to differ from the ratio of the y-coefficients, that is k/3 is not equal to 2/4. Equality would need k/3 = 1/2, giving k = 1.5, so every other value of k yields intersecting lines and a unique solution.
Question 48Linear Equations in Two Variables
The equations 2x + (k - 1)y = 6 and 4x + 6y = 12 represent the same line. What is k?
- 3
- 2
- 5
- 4 Correct answer.
Explanation
Coincident lines need all three ratios equal: 2/4 = (k - 1)/6 = 6/12. The first and third ratios both equal 1/2, so (k - 1)/6 = 1/2, giving k - 1 = 3 and k = 4.
Question 49Quadratic Equations
समीकरण x² − 5x + 6 = 0 के मूलों का योग कितना है?
- −5
- −6
- 6
- 5 Correct answer.
Explanation
किसी द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 में मूलों का योग −b/a होता है। यहाँ a = 1 और b = −5 है, इसलिए योग −(−5)/1 = 5 होगा। मूल वास्तव में 2 और 3 हैं और उनका योग भी 5 ही है।
Question 50Quadratic Equations
द्विघात समीकरण 2x² − 8x + 6 = 0 का विविक्तकर (discriminant) क्या है?
- 16 Correct answer.
- 8
- 64
- 40
Explanation
विविक्तकर D = b² − 4ac से निकाला जाता है। यहाँ a = 2, b = −8, c = 6 है, अतः D = 64 − 4(2)(6) = 64 − 48 = 16। चूँकि D धनात्मक है, समीकरण के दो भिन्न वास्तविक मूल होंगे।