الرياضيات: قرار شراء بالتقسيط ونزاع حول المعدل العام
في إعدادية في النجف، طلبت إدارة المدرسة من لجنة مالية من ثلاثة مدرّسين شراء طابعة ليزر، فعُرض عليها أمران: دفع فوري قدره 880,000 دينار، أو تقسيط بسعر 900,000 دينار تُدفع منه دفعة أولى 150,000 دينار ويُقسّط الباقي على 12 شهراً بفائدة بسيطة سنوية 8% تُحسب على كامل المبلغ المتبقي. وفي الاجتماع نفسه نشأ خلاف حول معدل درجات الصف السادس الأدبي: شعبة (أ) فيها 30 طالباً بمعدل 72، وشعبة (ب) فيها 20 طالباً بمعدل 81. كتب أحد المدرّسين في المحضر أن المعدل العام 76.5، فاعترض ثانٍ قائلاً إنه 75.6، ورأى ثالث أن الأنسب نشر الوسيط لا المتوسط لأن في شعبة (أ) طالبين حصلا على 20 و25. القرار يجب أن يُرفع إلى المدير صباح الغد مرفقاً بحسابات مكتوبة.
1. احسب الكلفة الكلية للتقسيط والقصد الشهري، ثم قرّر أي العرضين تختار اللجنة مع التبرير.
Read the worked answer
الحساب:
- المبلغ المتبقي بعد الدفعة الأولى = 900,000 − 150,000 = 750,000 دينار.
- الفائدة البسيطة = 750,000 × 8% × سنة واحدة = 60,000 دينار.
- الكلفة الكلية للتقسيط = 150,000 + 750,000 + 60,000 = 960,000 دينار.
- القصد الشهري = (750,000 + 60,000) ÷ 12 = 810,000 ÷ 12 = 67,500 دينار.
المقارنة: 960,000 − 880,000 = 80,000 دينار كلفة إضافية، أي نحو 9.1% من سعر الدفع الفوري.
القرار: يُفضَّل الدفع الفوري إن توفّر المبلغ، لأن كل دينار يُقترض هنا يكلّف 8% سنوياً بلا مقابل إنتاجي. ويُستثنى من ذلك حالة واحدة: لو احتاجت المدرسة سيولتها لشراء مستلزمات لا تحتمل التأجيل، فيصبح التقسيط مقبولاً شرط توثيق الفرق البالغ 80,000 دينار في المحضر.
2. احسب المعدل العام الصحيح للصف، وبيّن مصدر الخطأ في الرقم 76.5.
Read the worked answer
المعدل الصحيح (المتوسط الموزون):
(30 × 72 + 20 × 81) ÷ 50 = (2,160 + 1,620) ÷ 50 = 3,780 ÷ 50 = 75.6
مصدر الخطأ: الرقم 76.5 هو (72 + 81) ÷ 2، أي متوسط المتوسطين، وهو لا يصلح إلا إذا تساوى عدد الطلبة في الشعبتين. وهنا شعبة (أ) أكبر بـ10 طلاب، فكفتها أثقل، وإهمال الوزن يرفع المعدل خطأً لأن معدل الشعبة الصغيرة الأعلى يُمنح وزناً مساوياً لوزن الشعبة الكبرى.
قاعدة تُكتب في المحضر: المعدل العام = مجموع (عدد أفراد كل شعبة × معدلها) ÷ مجموع الأعداد، ولا يجوز جمع المعدلات وقسمتها على عدد الشعب.
3. هل تنشر اللجنة الوسيط بدل المتوسط؟ ما الذي يمكن حسابه من المعطيات وما الذي لا يمكن؟
Read the worked answer
ما يمكن حسابه: مجموع درجات شعبة (أ) = 30 × 72 = 2,160. ومجموع الطالبين المتدنيين = 20 + 25 = 45، فيكون مجموع الدرجات الـ28 الباقية = 2,115 ومعدلها 75.5.
ما لا يمكن حسابه: الوسيط هو قيمة الطالب الـ15 أو الـ16 في الترتيب التصاعدي، ولا يمكن تحديدها من المعدلات وحدها؛ فقد يكون 68 أو 78. لذلك لا يجوز كتابة رقم للوسيط في المحضر دون الرجوع إلى سجل الدرجات الكامل.
الرأي السليم: حجّة المدرّس الثالث معقولة نظرياً (الوسيط أقل تأثراً بالقيم الشاذة مثل 20 و25)، لكنها لا تُبرّر اختراع رقم. القرار: يُنشر المتوسط 75.6 لأنه محسوب بدقة، ويُطلب من شعبة الامتحانات إرفاق الوسيط والمدى بعد استخراجهما من السجل، ويُذكر في المحضر أن المتوسط قد يكون أدنى من الوسيط بسبب الدرجتين المتدنيتين.