توزیع ۳۰ پست معلم میان سه شهرستان با سهمیه و سقف بودجه
اداره کل آموزش‌وپرورش یک استان باید ۳۰ پست سازمانی جدید معلم را میان سه شهرستان الف، ب و ج تقسیم کند. آمار موجود چنین است: شهرستان الف با ۱۸٬۰۰۰ دانش‌آموز و ۵۴۰ معلم، شهرستان ب با ۲۷٬۰۰۰ دانش‌آموز و ۹۰۰ معلم و شهرستان ج با ۱۵٬۰۰۰ دانش‌آموز و ۴۵۰ معلم. سیاست استانی، رسیدن به نسبت ۳۰ دانش‌آموز به هر معلم در همه شهرستان‌ها است، اما بودجه امسال تنها برای ۳۰ پست جدید کافی است و پست‌ها نیز واحد و غیرقابل تجزیه‌اند. مدیر شهرستان ب در جلسه می‌گوید: «نسبت ما دقیقاً ۳۰ است، پس سهمی نمی‌خواهیم.» مدیر شهرستان الف مدعی است سهم او باید دو برابر شهرستان ج باشد، چون تعداد دانش‌آموزش بیشتر است. کارشناس آمار باید توزیع را با عدد و استدلال ارائه کند، به هر دو ادعا پاسخ دهد و بگوید پس از توزیع، میانگین استانی نسبت دانش‌آموز به معلم چقدر خواهد شد.
1. نسبت دانش‌آموز به معلم هر شهرستان و کمبود هر شهرستان تا هدف ۳۰ را محاسبه کنید.
Read the worked answer
نسبت‌ها: الف ۱۸٬۰۰۰ ÷ ۵۴۰ = ۳۳٫۳۳؛ ب ۲۷٬۰۰۰ ÷ ۹۰۰ = ۳۰؛ ج ۱۵٬۰۰۰ ÷ ۴۵۰ = ۳۳٫۳۳.
تعداد معلم لازم برای هدف ۳۰: الف ۱۸٬۰۰۰ ÷ ۳۰ = ۶۰۰ نفر، پس کمبود ۶۰؛ ب ۲۷٬۰۰۰ ÷ ۳۰ = ۹۰۰ نفر، پس کمبود صفر؛ ج ۱۵٬۰۰۰ ÷ ۳۰ = ۵۰۰ نفر، پس کمبود ۵۰.
جمع کمبود ۱۱۰ نفر است، در حالی که تنها ۳۰ پست در دسترس است؛ یعنی هدف به‌طور کامل دست‌نیافتنی است و توزیع باید «کاهش نابرابری» را هدف بگیرد نه «رسیدن به هدف». ادعای مدیر ب درست است: شهرستان ب کمبودی ندارد و سهم گرفتن او، نسبت را از ۳۰ بهتر می‌کند در حالی که دو شهرستان دیگر عقب‌تر می‌مانند.
2. ۳۰ پست را با روش بزرگ‌ترین باقیمانده توزیع کنید و نتیجه را بررسی کنید.
Read the worked answer
توزیع باید متناسب با کمبود باشد، نه متناسب با تعداد دانش‌آموز. سهم نسبی: الف ۶۰ ÷ ۱۱۰ × ۳۰ = ۱۶٫۳۶ و ج ۵۰ ÷ ۱۱۰ × ۳۰ = ۱۳٫۶۴.
چون پست‌ها صحیح‌اند، ابتدا جزء صحیح داده می‌شود: ۱۶ و ۱۳ (جمع ۲۹) و یک پست باقیمانده به بزرگ‌ترین باقیمانده، یعنی ج (۰٫۶۴ در برابر ۰٫۳۶)، می‌رسد. نتیجه نهایی: الف ۱۶، ب صفر، ج ۱۴.
بررسی: الف ۵۵۶ معلم می‌شود، نسبت ۱۸٬۰۰۰ ÷ ۵۵۶ = ۳۲٫۳۷؛ ج ۴۶۴ معلم، نسبت ۱۵٬۰۰۰ ÷ ۴۶۴ = ۳۲٫۳۳. دو شهرستان عقب‌مانده تقریباً هم‌سطح شدند و ب دست‌نخورده ماند. اگر پست‌ها بر پایه تعداد دانش‌آموز تقسیم می‌شد (۹، ۱۳٫۵، ۷٫۵)، شهرستان ب که مشکل ندارد بیشترین سهم را می‌گرفت و سیاست استانی نقض می‌شد.
3. ادعای مدیر شهرستان الف درباره «دو برابر بودن سهم او نسبت به ج» و ادعای «رسیدن میانگین استانی به ۳۰» را ارزیابی کنید.
Read the worked answer
ادعای دو برابر بودن نادرست است. نسبت کمبودها ۶۰ به ۵۰، یعنی ۶ به ۵ است؛ سهم الف حدود ۱٫۲ برابر ج است، نه دو برابر. ریشه خطا این است که او دانش‌آموز را پایه سهم گرفته، در حالی که هر دو شهرستان نسبت یکسان ۳۳٫۳۳ دارند و تفاوتشان فقط در اندازه است.
ادعای رسیدن به میانگین ۳۰ نیز نادرست است. میانگین استانی باید از تقسیم مجموع دانش‌آموزان بر مجموع معلمان به دست آید: ۶۰٬۰۰۰ ÷ (۱٬۸۹۰ + ۳۰) = ۶۰٬۰۰۰ ÷ ۱٬۹۲۰ = ۳۱٫۲۵. این عدد با میانگین حسابی سه نسبت (۳۲٫۳۷، ۳۰، ۳۲٫۳۳ که ۳۱٫۵۷ می‌شود) یکی نیست، چون شهرستان‌ها وزن جمعیتی نابرابر دارند. نتیجه: بهبود رخ داده اما هدف محقق نشده و برای رسیدن به ۳۰ به ۱۱۰ پست نیاز است.