Il mobile cinetico: contrappeso, perno e sicurezza dell'ancoraggio
Per il corridoio del laboratorio, uno studente progetta un mobile cinetico: un'asta d'acciaio orizzontale lunga 3,0 m e di massa 6,0 kg, imperniata a 1,2 m dall'estremità sinistra; all'estremità sinistra, a 0,1 m dal bordo, è fissata una sfera di 4,0 kg; all'estremità destra, a 2,8 m, va il contrappeso. L'asta è appesa a un unico ancoraggio del soffitto, dichiarato per 0,5 kN. Lo studente propone un contrappeso di 8,0 kg perché «a occhio è bilanciato» e vuole lasciare il perno dov'è. Il docente chiede una verifica numerica prima di autorizzare il montaggio. Il mobile dovrà ruotare lentamente e sarà soggetto a oscillazioni; si assume un fattore dinamico 1,5 e si trascurano l'attrito del perno e la massa dei cavi. La sfera e il contrappeso sono trattati come masse puntiformi. Il laboratorio ha una portata di soffitto verificata, ma il docente vuole comunque controllare il carico e la stabilità.
1. Calcola la massa del contrappeso necessaria per l'equilibrio con il perno a 1,2 m dall'estremità sinistra. Mostra i passaggi.
Read the worked answer
Fisso il polo nel perno, a x = 1,2 m dall'estremità sinistra. Convenzione: momento antiorario positivo.
Distanze dal perno:
- sfera: 1,2 − 0,1 = 1,1 m a sinistra; forza 4,0 × 9,81 = 39,24 N; momento +39,24 × 1,1 = +43,16 N·m;
- asta: centro a 1,5 m, quindi 0,3 m a destra; forza 6,0 × 9,81 = 58,86 N; momento −58,86 × 0,3 = −17,66 N·m;
- contrappeso: 2,8 − 1,2 = 1,6 m a destra; momento −m × 9,81 × 1,6.
Somma dei momenti nulla: 43,16 − 17,66 − m × 9,81 × 1,6 = 0. Quindi 25,50 = m × 15,696, da cui m = 1,62 kg.
Il contrappeso necessario è circa 1,6 kg, non 8,0 kg. Con 8,0 kg il sistema non è in equilibrio: il momento del contrappeso sarebbe 8,0 × 9,81 × 1,6 = 125,6 N·m, molto maggiore di quello della sfera, e l'asta ruoterebbe abbassando il lato destro. Il calcolo mostra anche che il contributo dell'asta non è trascurabile: senza di esso si otterrebbe un valore leggermente diverso.
2. Se si vuole usare comunque un contrappeso di 8,0 kg, dove va spostato il perno?
Read the worked answer
Sia d la distanza del perno dall'estremità sinistra. Ipotizzo che il perno cada tra il centro dell'asta (1,5 m) e il contrappeso (2,8 m), quindi 1,5 < d < 2,8. In questa zona l'asta ha il centro a sinistra del perno e dà momento antiorario; la sfera è a sinistra; il contrappeso a destra.
Equilibrio dei momenti: 4,0(d − 0,1) + 6,0(d − 1,5) = 8,0(2,8 − d).
Sviluppo: 4d − 0,4 + 6d − 9,0 = 22,4 − 8d; 10d − 9,4 = 22,4 − 8d; 18d = 31,8; d = 1,77 m.
Il perno va spostato a circa 1,77 m dall'estremità sinistra, cioè 57 cm più a destra rispetto alla posizione iniziale. Il risultato è coerente con l'ipotesi 1,5 < d < 2,8. In questa configurazione l'asta è quasi bilanciata dal proprio peso e il contrappeso di 8 kg compensa la sfera con un braccio più corto.
Va però osservato che questa soluzione aumenta la massa totale sospesa: 4 + 6 + 8 = 18 kg, contro 11,6 kg con il contrappeso da 1,6 kg. È una scelta lecita solo se l'ancoraggio e la struttura reggono il carico maggiore.
3. Valuta la sicurezza dell'ancoraggio con fattore dinamico 1,5 e indica due verifiche aggiuntive necessarie prima del montaggio.
Read the worked answer
Con il contrappeso da 8,0 kg la massa totale è 4,0 + 6,0 + 8,0 = 18,0 kg. Il carico statico è 18,0 × 9,81 = 176,6 N. Con fattore dinamico 1,5: 176,6 × 1,5 = 264,9 N, cioè circa 265 N.
L'ancoraggio è dichiarato per 0,5 kN = 500 N. Il rapporto di utilizzazione è 265/500 = 0,53: il carico dinamico è circa il 53% della portata, con un margine del 47%. In prima approssimazione l'ancoraggio è verificato, ma il margine non è enorme e il calcolo trascura effetti reali.
Due verifiche aggiuntive: 1) verifica del supporto e del fissaggio, non solo del gancio: il soffitto può essere meno resistente del gancio, e un singolo punto concentra il carico; servono tasselli adeguati, controllo della soletta e possibilità di un secondo ancoraggio di sicurezza. 2) verifica delle azioni laterali e della fatica: il mobile ruota e oscilla, quindi l'ancoraggio non lavora solo a trazione; vanno stimati carichi laterali, vibrazioni e allentamento progressivo, con dado autobloccante e ispezione periodica.
Inoltre, se si sceglie il contrappeso da 1,6 kg, il carico dinamico scende a circa 171 N e il margine aumenta: è la soluzione preferibile dal punto di vista strutturale, anche se richiede un contrappeso più piccolo e visivamente meno evidente.