Seconda prova di Matematica: un minimo relativo non è un minimo assoluto
Sei alla seconda prova del Liceo Scientifico. Il problema chiede di studiare la famiglia f_a(x) = (x^2 + a)/(x - 1), con a parametro reale, e di determinare a affinché il grafico abbia un minimo relativo in x=3. Hai sei ore e hai già svolto il primo punto. Sul foglio di brutta trovi questa soluzione: «f'_a(x) = (x^2 - 2x - a)/(x-1)^2; impongo f'_a(3)=0 e ottengo a=3; poiché f_a(3)=6, il punto (3,6) è il minimo assoluto della funzione». Il tuo compagno ti fa notare che la consegna chiede «minimo relativo», non «assoluto». Hai 25 minuti per il controllo finale e devi decidere se correggere, completare o riscrivere il punto. La commissione valuterà rigore, dominio e giustificazione dei limiti.
1. Rifai il calcolo della derivata e di a; poi dimostra che (3,6) è minimo relativo ma non assoluto.
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Derivata: f'_a(x) = [2x(x-1) - (x^2+a)]/(x-1)^2 = (2x^2 - 2x - x^2 - a)/(x-1)^2 = (x^2 - 2x - a)/(x-1)^2. Il dominio è x ≠ 1. Impongo f'_a(3)=0: (9 - 6 - a)/4 = 0, quindi 3 - a = 0 e a = 3. Allora f_3(x) = (x^2+3)/(x-1) e f_3(3) = 12/2 = 6.
Per il segno, con a=3 il numeratore è x^2 - 2x - 3 = (x-3)(x+1). Nell'intorno di x=3, per x<3 vicino a 3 il numeratore è negativo e per x>3 è positivo; il denominatore è positivo, quindi f decresce prima e cresce dopo: (3,6) è minimo relativo. Non è assoluto perché, per esempio, f_3(0) = (0+3)/(0-1) = -3, che è minore di 6. Inoltre per x→1^- la funzione tende a -∞. Quindi l'affermazione «minimo assoluto» è falsa.
2. Uno studente dice: «Basta studiare il ramo x>1, perché il minimo è lì». È una scorciatoia accettabile? Rispondi distinguendo esistenza locale e globale.
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Dipende dall'obiettivo. Per determinare a, la condizione f'_a(3)=0 è necessaria e il calcolo resta valido anche restringendosi a x>1, perché 3 appartiene a quel ramo. Per dimostrare che (3,6) è minimo relativo, basta un intorno di 3 contenuto in x>1, quindi il ramo destro è sufficiente. Ma la frase «il minimo è lì» è ambigua: se significa minimo assoluto, allora il ramo x>1 non basta, perché il ramo x<1 contiene valori più bassi e tende a -∞ vicino all'asintoto verticale.
La scorciatoia è accettabile solo se la dichiaro: «mi limito al ramo x>1 per il minimo relativo». Se poi scrivo «minimo assoluto», commetto un errore di portata, non di calcolo. La distinzione tra esistenza locale e globale è esattamente il punto da verbalizzare.
3. Scrivi la conclusione del punto in 4-5 righe, con le giustificazioni minime.
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Per a=3 la funzione è f(x) = (x^2+3)/(x-1), con dominio x≠1, e f'(x) = (x-3)(x+1)/(x-1)^2. Poiché f'(3)=0 e il segno di f' cambia da negativo a positivo attraversando x=3, il punto (3,6) è un minimo relativo. Non è un minimo assoluto: f(0) = -3 < 6 e per x→1^- la funzione tende a -∞. La richiesta era di minimo relativo, quindi a=3 è la risposta corretta, ma la frase «minimo assoluto» va eliminata o motivata come restrizione al ramo x>1.