Sezione A contro sezione B: media, mediana e un dato da eliminare
Una scuola conduce un test di 40 domande in due sezioni di quinta. I punteggi della sezione A sono: 18, 22, 22, 25, 33. Quelli della sezione B sono: 20, 21, 23, 24, 27.
Durante il consiglio di istituto la preside annuncia: «La sezione A ha la media più alta, quindi la didattica della A funziona meglio». Il rappresentante dei genitori obietta che «in A nessuno ha preso 27, mentre in B il migliore ha 27, quindi la B è più solida». Un docente propone di escludere dal calcolo il 33 della sezione A, perché «è un caso isolato che falsa il risultato».
Il verbale deve riportare un'analisi corretta, distinguendo media, mediana e dispersione, e segnalando esplicitamente che cosa questi dati non consentono di concludere. Le due sezioni hanno cinque studenti ciascuna e nessuno studente è stato assegnato alle sezioni in modo casuale.
1. Calcola media e mediana delle due sezioni e spiega quale misura sostiene quale delle due affermazioni in discussione.
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Sezione A. Somma = 18 + 22 + 22 + 25 + 33 = 120; media = 120 / 5 = 24. Punteggi ordinati: 18, 22, 22, 25, 33; mediana = 22 (terzo valore).
Sezione B. Somma = 20 + 21 + 23 + 24 + 27 = 115; media = 115 / 5 = 23. Punteggi ordinati: 20, 21, 23, 24, 27; mediana = 23.
Quale misura sostiene cosa. La media dà ragione alla preside sul piano puramente aritmetico: 24 > 23. La mediana dà ragione a chi difende la B: 23 > 22, cioè lo studente «tipico» della B sta più in alto. La mediana è più robusta perché non risente dell'entità dei valori estremi; la media incorpora il 33 della A, che da solo sposta il risultato di (33 − 22) / 5 = 2,2 punti.
Limite comune. Nessuna delle due misure autorizza un giudizio sulla didattica: i dati sono descrittivi, le sezioni non sono state formate per assegnazione casuale e non esiste un gruppo di controllo. Una media più alta può riflettere la composizione iniziale delle classi, non l'insegnamento. Il salto da «A ha media più alta» a «la didattica della A funziona meglio» è un'inferenza causale non supportata.
2. Valuta la proposta del docente di escludere il 33 dal calcolo. Che cosa cambierebbe e perché la mossa è metodologicamente problematica?
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Che cosa cambierebbe. Senza il 33, la sezione A avrebbe quattro valori: 18, 22, 22, 25, somma 87, media 87 / 4 = 21,75. Il confronto con la B (23) si ribalterebbe: la A passerebbe dall'essere «migliore» all'essere peggiore.
Perché è problematico. Escludere un'osservazione dopo aver visto i risultati, e proprio perché disturba la conclusione desiderata, è una forma di selezione a posteriori: si sceglie il campione in funzione dell'esito. Il 33 non è un valore impossibile (il test vale 40) né un errore documentato: è semplicemente un valore alto.
Le condizioni in cui l'eliminazione sarebbe legittima sono strette e vanno verificate prima: errore di registrazione, prova annullata, consegna irregolare. Se esistono, si eliminano il dato e la sua giustificazione, non solo il numero.
Alternativa corretta. Riportare entrambi i risultati (con e senza il valore estremo) e privilegiare la mediana, che è robusta agli outlier. Con la mediana il confronto resta 22 contro 23 anche includendo il 33.
3. L'obiezione del genitore - «in A nessuno ha preso 27, mentre in B il migliore ha 27, quindi la B è più solida» - che cosa descrive davvero? Riformulala in modo statisticamente corretto.
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Descrive la dispersione e i valori estremi, non la solidità.
Sezione A: minimo 18, massimo 33, campo di variazione 15. Sezione B: minimo 20, massimo 27, campo di variazione 7. La A è più eterogenea: contiene sia il punteggio più basso sia quello più alto delle due sezioni. La B è più compatta.
La frase del genitore è però mal formulata su due punti. Primo, il massimo (33 in A) è più alto del massimo della B, quindi l'affermazione «il migliore è in B» è falsa rispetto ai dati riportati. Secondo, e più importante, un valore massimo non misura la solidità di un gruppo: è la prestazione di una persona. Per parlare di solidità servirebbero una misura di variabilità (scarto quadratico medio, campo di variazione) e gruppi numerosi.
Riformulazione corretta: «La sezione B presenta punteggi più omogenei (20–27, campo 7), mentre la A è più dispersa (18–33, campo 15); la media della A è trascinata verso l'alto da un unico punteggio elevato, come mostra il confronto tra media (24) e mediana (22)». Questo è ciò che i dati dicono; il resto è interpretazione da argomentare, non da dedurre.