الرياضيات: التفاضل والتكامل والجبر والاحتمالات
يغطي هذا القسم من امتحان الوزارة موضوعات التفاضل والتكامل، والمصفوفات والمحددات، والأعداد المركبة، والمتجهات، والاحتمالات، إضافة إلى المتتابعات والمتسلسلات. والأسئلة تتفاوت بين التطبيق المباشر والمسائل المركبة التي تتطلب ربط مفهومين، ويُفترض أن تُظهر خطوات الحل لا الناتج فقط، لأن كثيراً من الأسئلة يمنح درجات على الطريقة.
القواعد الجوهرية
- مشتقة القوة: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹، وقاعدة السلسلة: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x).
- مشتقة خارج القسمة: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v².
- التكامل غير المحدود: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C، بشرط n ≠ −1.
- ضرب المصفوفات مسموح فقط عندما يساوي عدد أعمدة الأولى عدد صفوف الثانية، والناتج غير إبدالي.
- معيار العدد المركب z = a + bi هو |z| = √(a² + b²)، وسعته θ حيث tanθ = b/a مع مراعاة الربع.
- احتمال وقوع A بشرط B: P(A|B) = P(A∩B)/P(B)، بشرط P(B) > 0.
- المتتابعة الحسابية حدها العام aₙ = a₁ + (n−1)d، والهندسية aₙ = a₁·rⁿ⁻¹.
مثال محلول
احسب ∫ x·e^{x²} dx. نضع u = x²، فيكون du = 2x dx، أي x dx = du/2. يصبح التكامل ½∫e^u du = ½e^u + C = ½e^{x²} + C. التحقق بالاشتقاق: ½·e^{x²}·2x = x·e^{x²}، وهو المقدار الأصلي.
أخطاء شائعة
- إسقاط ثابت التكامل C في التكامل غير المحدود.
- تطبيق قاعدة السلسلة على الدالة الخارجية فقط دون ضربها بمشتقة الداخلية.
- عكس ترتيب المصفوفتين في الضرب، أو جمع مصفوفتين مختلفتي الرتبة.
- اختيار الربع الخطأ عند إيجاد سعة عدد مركب، أو نسيان القيمة المطلقة في المعيار.
- في الاحتمال الشرطي، القسمة على P(A) بدل P(B).