Ehime Entrance Mathematics key terms

関数 y=f(x) の x=a における微分係数は、h を 0 に近づけたときの平均変化率 (f(a+h)-f(a))/h の極限値である。グラフ上の点 (a, f(a)) における接線の傾きを表し、f'(a) と書く。極限が存在しない場合は微分不可能という。

定義域の各点 x に対して微分係数 f'(x) を対応させた関数を導関数といい、f'(x) や dy/dx と表す。導関数を求めることを微分するといい、関数の増減・極値・接線の傾きを調べるための基本的な道具となる。

曲線 y=f(x) 上の点 (a, f(a)) における接線は、傾きが微分係数 f'(a) に等しい直線であり、y-f(a)=f'(a)(x-a) と表される。曲線外の点から引く接線では、接点の x 座標を文字でおいて立式する。

関数 f(x) が x=a の近くで f(a) 以上の値をとるとき f(a) を極大値、f(a) 以下の値をとるとき極小値といい、両者を合わせて極値という。極値は導関数が 0 となる点か、微分不可能な点で起こりうる。

y=f(u)、u=g(x) のとき dy/dx=(dy/du)(du/dx) が成り立つという法則で、連鎖律とも呼ばれる。入れ子になった関数を微分するときに使い、媒介変数表示された曲線の接線の傾きを求めるときにも用いる。

関数 f(x) の区間 [a, b] における定積分は、区間を細かく分けて作った和の極限として定義され、F を f の原始関数とすると F(b)-F(a) で計算できる。x 軸より下の部分は負の値として扱う。

区間を n 等分し、長方形の面積の和の n→∞ の極限として定積分を求める方法。lim(n→∞)(1/n)Σ(k=1〜n)f(k/n)=∫₀¹f(x)dx の形に式を変形できるかを見抜くことが鍵となる。

2 つの曲線 y=f(x)、y=g(x) と 2 直線 x=a、x=b で囲まれた部分の面積は ∫_a^b |f(x)-g(x)| dx で求められる。上下関係が入れ替わる点があれば、その x で積分区間を分けて計算する。

曲線 y=f(x) と x 軸、および 2 直線 x=a、x=b で囲まれた図形を x 軸のまわりに 1 回転させてできる立体の体積は、π∫_a^b {f(x)}² dx で与えられる。断面が円になることを利用している。

積分で変数を u=g(x) のように取り替え、dx=(dx/du)du として計算する方法。定積分では積分区間も u の値に変換しなければならず、変換を忘れるのが典型的な誤りである。

∫f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-∫f'(x)g(x)dx という公式を用いる積分法。多項式と指数関数や三角関数の積、対数関数を含む積分などで有効で、微分して簡単になる方を g' に選ぶ。

隣り合う項の差が一定である数列をいい、その一定の差を公差という。初項 a、公差 d のとき第 n 項は a+(n-1)d、初項から第 n 項までの和は n{2a+(n-1)d}/2 である。

隣り合う項の比が一定である数列をいい、その一定の比を公比という。初項 a、公比 r のとき第 n 項は ar^(n-1)、初項から第 n 項までの和は r≠1 のとき a(1-r^n)/(1-r) である。

数列の隣り合う項などの間に成り立つ関係式で、前の項から次の項を順に定めるもの。等差型・等比型・階差型などに変形して一般項を求める手順が問われる。

自然数 n についての命題を証明する方法。n=1 のときに成り立つことを示し、n=k で成り立つと仮定して n=k+1 でも成り立つことを示す、という 2 段階の論法からなる。

等比数列の項を限りなく加えた無限級数。公比 r について |r|<1 のとき収束し、その和は a/(1-r) となる。|r|≥1 のときは、初項が 0 の場合を除いて発散する。

2 つのベクトル a、b について |a||b|cosθ（θ はなす角）で定義される量。成分では a₁b₁+a₂b₂（空間ではさらに +a₃b₃）と計算でき、内積が 0 であることが垂直条件になる。

直線や平面に垂直なベクトルのこと。平面 ax+by+cz=d の法線ベクトルは (a, b, c) であり、点と平面の距離を求めるときや、平面の方程式を決定するときの手がかりになる。

角を、半径と同じ長さの弧に対する中心角を 1 ラジアンとして測る方法。180°=π ラジアンであり、半径 r、中心角 θ の扇形について弧の長さは rθ、面積は (1/2)r²θ となる。

sin(α±β)、cos(α±β)、tan(α±β) を α、β の三角関数で表す公式。2 倍角・半角の公式や三角関数の合成はここから導かれ、三角関数の値や式の変形の基礎になる。

a sinθ+b cosθ を √(a²+b²)sin(θ+α) の形に変形すること。α は cosα=a/√(a²+b²)、sinα=b/√(a²+b²) を満たす角で、最大・最小や方程式の解法に用いる。

底を 10 とする対数 log₁₀x のこと。正の数 x の整数部分が n+1 桁であることは n≤log₁₀x<n+1 と同値であり、桁数や小数首位を求める問題で使う。

異なる n 個から r 個を取り出して順番に並べる並べ方の総数で、nPr=n!/(n-r)! と表される。取り出す順序を区別する点が組合せとの違いである。

異なる n 個から r 個を選ぶ選び方の総数で、nCr=n!/(r!(n-r)!) と表される。順序を区別しない点が順列との違いであり、nCr=nC(n-r) の関係もよく使う。

事象 A が起こったという条件のもとで事象 B が起こる確率で、P(B|A)=P(A∩B)/P(A) と定義される。乗法定理 P(A∩B)=P(A)P(B|A) の形でもよく用いられる。

確率変数 X が値 xᵢ を確率 pᵢ でとるとき、Σxᵢpᵢ で定義される平均値。くじの賞金や反復試行で成功する回数の見積もりなど、確率を伴う判断に使われる。

同じ試行を独立に繰り返すこと。1 回の試行で事象が起こる確率が p のとき、n 回中 r 回起こる確率は nCr p^r (1-p)^(n-r) で与えられる。

複素数 z=a+bi を、絶対値 r と偏角 θ を用いて z=r(cosθ+i sinθ) と表したもの。積や商の計算が偏角の和・差と絶対値の積・商に帰着し、累乗にも便利である。

(cosθ+i sinθ)^n=cos nθ+i sin nθ が成り立つという定理。複素数の累乗を簡単にし、n 乗根を求める場面では偏角を 2π/n ずつずらして解を並べる。

複素数 z が満たす条件を、点 z が動く図形としてとらえたもの。|z-α|=r は α を中心とする半径 r の円、|z-α|=|z-β| は 2 点 α、β を結ぶ線分の垂直二等分線を表す。

多項式 P(x) について、P(α)=0 であることと P(x) が x-α で割り切れることは同値であるという定理。高次方程式の因数分解や、未知の係数を決める場面で使う。

整数係数の多項式が有理数の根をもつならば、その根は定数項の約数を最高次の係数の約数で割った形に限られるという定理。候補を絞って因数定理で確かめる。

2 つの整数 a、b の最大公約数を、a を b で割った余り r を用いて (a, b) を (b, r) に置き換える操作を、余りが 0 になるまで繰り返して求める方法。

整数 a、b の差が自然数 m で割り切れるとき a≡b (mod m) と書き、m を法とする合同式という。余りだけに着目して計算でき、整数問題を見通しよく整理できる。

0 以上 n-1 以下の数字を用い、n を底として数を表す方法。10 進法の数を n 進法で表すには、n で繰り返し割った余りを下から順に並べればよい。

三角形 ABC の外接円の半径を R とすると、a/sin A=b/sin B=c/sin C=2R が成り立つという定理。辺と対角の対応や外接円の半径を求める場面で用いる。

三角形 ABC において a²=b²+c²-2bc cos A が成り立つという定理。2 辺とその間の角から残りの辺を求める場合や、3 辺の長さから角の大きさを求める場合に使う。

円と 2 本の直線が交わるとき、交点から円との交点までの長さの積が等しくなるという定理。交点が円の内部にある場合と外部にある場合で図は異なるが、式の形は同じである。

2 つの図形が、一方を拡大または縮小して移動すれば重なる関係をいう。対応する角が等しく、対応する辺の比が一定であり、面積比は相似比の 2 乗、体積比は 3 乗になる。