極限 lim_{x→2} (x²−4)/(x−2) の値として正しいものを選べ。
- 2
- 存在しない
- 4 Correct answer.
- 0
Explanation
x²−4 は (x−2)(x+2) と因数分解できる。x→2 の極限では x は 2 に近づくが x≠2 としてよいので、分母 x−2 と約分できて x+2 になる。したがって極限値は 2+2=4 である。x=2 をそのまま代入すると 0/0 の不定形になるため、約分が必要である。
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f(x)=x³−3x のとき、微分係数 f′(1) の値として正しいものを選べ。
- −2
- 0 Correct answer.
- 6
- 3
Explanation
f(x)=x³−3x を微分すると f′(x)=3x²−3 である。x³ の導関数は 3x²、−3x の導関数は −3 なので、各項を微分して足せばよい。x=1 を代入すると 3·1²−3=0 となる。
曲線 y=x² 上の点 (1,1) における接線の傾きとして正しいものを選べ。
- 1
- −2
- 1/2
- 2 Correct answer.
Explanation
y=x² の導関数は y′=2x である。接線の傾きは接点の x 座標における微分係数に等しいので、x=1 を代入して 2 となる。接線の方程式は y=2(x−1)+1、すなわち y=2x−1 である。
関数 f(x)=x³−3x の極大値として正しいものを選べ。
- 1
- 0
- 2 Correct answer.
- −2
Explanation
f′(x)=3x²−3=3(x−1)(x+1) より、f′(x)=0 となるのは x=±1 である。x<−1 で f′>0、−1<x<1 で f′<0 となり、x=−1 で f′ の符号が正から負に変わるので極大となる。極大値は f(−1)=(−1)³−3(−1)=−1+3=2 である。
関数 f(x)=(x+1)/(x−1) の導関数 f′(x) として正しいものを選べ。
- 2/(x−1)²
- −1/(x−1)²
- (2x)/(x−1)²
- −2/(x−1)² Correct answer.
Explanation
商の微分法 {g/h}′=(g′h−gh′)/h² を用いる。g=x+1、h=x−1 とすると g′=1、h′=1 なので、分子は 1·(x−1)−(x+1)·1=−2 となる。よって f′(x)=−2/(x−1)² である。
曲線 y=x³−2x 上の点 (1,−1) における接線の方程式として正しいものを選べ。
- y=x
- y=x−2 Correct answer.
- y=−x
- y=3x−4
Explanation
y′=3x²−2 であるから、x=1 における接線の傾きは 3−2=1 である。接点 (1,−1) を通る傾き 1 の直線は y−(−1)=1·(x−1)、すなわち y=x−2 となる。
関数 f(x)=x³−3x²+1 が単調に減少する区間として正しいものを選べ。
- x<0
- x<0 または x>2
- x>2
- 0<x<2 Correct answer.
Explanation
f′(x)=3x²−6x=3x(x−2) である。f′(x)<0 となるのは 0<x<2 のときで、この区間でグラフは単調に減少する。x<0 と x>2 では f′(x)>0 となり単調に増加する。
関数 f(x)=x³+ax²+3x が極値をもつための定数 a の条件として正しいものを選べ。
- |a|<3
- a>3
- −3<a<3
- |a|>3 Correct answer.
Explanation
f′(x)=3x²+2ax+3 である。f が極値をもつには f′ が符号を変える必要があり、f′(x)=0 が異なる2つの実数解をもてばよい。判別式を4で割った D/4=a²−9>0 より a<−3 または a>3、すなわち |a|>3 である。
関数 f(x)=x³−3x の区間 0≤x≤3 における最大値として正しいものを選べ。
- −2
- 0
- 2
- 18 Correct answer.
Explanation
f′(x)=3x²−3=3(x−1)(x+1) より、区間内で f′ の符号が変わるのは x=1 のみで、ここで極小値 f(1)=−2 をとる。最大値は端点と極値での値を比べて求めればよく、f(0)=0、f(3)=27−9=18 より最大値は 18 である。
極限 lim_{x→∞} (2x²+3x−1)/(x²−x+2) の値として正しいものを選べ。
- 1
- 0
- ∞
- 2 Correct answer.
Explanation
分母と分子を最高次の項 x² で割ると、(2+3/x−1/x²)/(1−1/x+2/x²) となる。x→∞ のとき 1/x や 1/x² は 0 に近づくので、極限値は 2/1=2 である。
極限 lim_{x→0} (√(x+1)−1)/x の値として正しいものを選べ。
- 1/2 Correct answer.
- 3/2
- 1
- 1/3
Explanation
分母と分子に √(x+1)+1 を掛けて有理化すると、与式は x/(x(√(x+1)+1)) = 1/(√(x+1)+1) と変形できる。x→0 とすると 1/(1+1)=1/2 となる。したがって極限値は 1/2 である。
関数 y=(x²+1)(x−2) の導関数 y′ として正しいものを選べ。
- 3x²−4x
- 3x²+4x+1
- 2x²−4x+1
- 3x²−4x+1 Correct answer.
Explanation
展開すると y=x³−2x²+x−2 であるから、項ごとに微分して y′=3x²−4x+1 を得る。積の微分法を用いても同じ結果になる。定数項の微分が 0 である点に注意する。
関数 f(x)=x²−6x+5 が最小値をとるときの x の値として正しいものを選べ。
- 2
- 3 Correct answer.
- 4
- 1
Explanation
f(x)=x²−6x+5 を微分すると f′(x)=2x−6 である。f′(x)=0 とすると x=3 で、f″(x)=2>0 よりこの点で最小となる。平方完成しても (x−3)²−4 となり、x=3 で最小と確認できる。
曲線 y=√x 上の点 (1,1) における法線の方程式として正しいものを選べ。
- y=−2x+3 Correct answer.
- y=2x−1
- y=x/2+1/2
- y=−x/2+3/2
Explanation
y=√x の導関数は y′=1/(2√x) である。x=1 における接線の傾きは 1/2 なので、法線の傾きはその負の逆数 −2 となる。点 (1,1) を通る傾き −2 の直線は y−1=−2(x−1)、すなわち y=−2x+3 である。
曲線 y=x³−3x²+2 の変曲点の座標として正しいものを選べ。
- (0,2)
- (2,−2)
- (1,0) Correct answer.
- (−1,−2)
Explanation
y′=3x²−6x、y″=6x−6 である。y″=0 より x=1 で、x=1 の前後で y″ の符号が負から正に変わるので変曲点である。このとき y=1−3+2=0 なので座標は (1,0) である。
x>0 のとき、関数 f(x)=x+4/x の最小値として正しいものを選べ。
- 2
- 4 Correct answer.
- 8
- 5
Explanation
f′(x)=1−4/x² より f′(x)=0 となるのは x=2 である。x<2 では f′<0、x>2 では f′>0 なので x=2 で最小となり、最小値は f(2)=2+2=4 である。相加相乗平均でも x+4/x≥2√4=4 と確認できる。
曲線 y=x²−4x+5 上の点で、接線が直線 y=2x−3 に平行となる点の x 座標として正しいものを選べ。
- 0
- 2
- 3 Correct answer.
- 1
Explanation
y′=2x−4 である。接線が y=2x−3 に平行になるのは傾きが 2 のときなので、2x−4=2 を解いて x=3 を得る。このとき接点の y 座標は 9−12+5=2 である。
放物線 y=4−x² と x軸で囲まれた部分に、x軸上に底辺をもつ長方形を内接させるとき、その長方形の面積の最大値として正しいものを選べ。
- 16√3/3
- 8
- 32√3/9 Correct answer.
- 64√3/9
Explanation
x軸上に底辺をもつ長方形の頂点を (±x,0)、(±x,4−x²) とすると、面積は A=2x(4−x²)=8x−2x³ (0<x<2) である。A′=8−6x²=0 より x=2/√3 で、この前後で A′ が正から負に変わるので最大である。最大面積は 2·(2/√3)·(4−4/3)=32√3/9 となる。
関数 f(x) が x≤1 のとき f(x)=x²、x>1 のとき f(x)=ax+b で与えられ、x=1 で微分可能であるとき、a+b の値として正しいものを選べ。
- 0
- 3
- 2
- 1 Correct answer.
Explanation
微分可能なら連続であるから、x=1 で左極限と右極限が一致し、1=a+b が成り立つ。また微分係数も一致するので、左から 2x→2、右から a となり a=2 である。よって b=−1 で、a+b=1 となる。
関数 f(x)=2x³−5x について、x=−1 における微分係数 f′(−1) の値として正しいものを選べ。
- 1 Correct answer.
- −11
- −1
- 11
Explanation
微分係数は導関数に x の値を代入して求めます。f′(x)=6x²−5 なので、x=−1 を代入すると 6×(−1)²−5=6−5=1 になります。したがって f′(−1)=1 です。
曲線 y=x²+3x 上の点で x 座標が 0 である点における接線の傾きとして正しいものを選べ。
- 2
- 3 Correct answer.
- −3
- 0
Explanation
接線の傾きは微分係数 y′ に x=0 を代入して求めます。y′=2x+3 なので、x=0 のとき y′=3 です。よって接線の傾きは 3 になります。
関数 f(x)=−x²+6x−2 が最大値をとるときの x の値として正しいものを選べ。
- 6
- 0
- −3
- 3 Correct answer.
Explanation
導関数は f′(x)=−2x+6 です。f′(x)=0 とすると x=3 になります。x<3 で f′(x)>0、x>3 で f′(x)<0 なので、x=3 で最大値をとります。
関数 f(x)=x/(x²+1) の導関数 f′(x) として正しいものを選べ。
- (1+x²)/(x²+1)²
- (x²−1)/(x²+1)²
- (1−x²)/(x²+1)² Correct answer.
- 1/(x²+1)²
Explanation
商の微分公式を用います。分母を D=x²+1、分子を N=x とすると、f′(x)=(1·D−x·D′)/D² です。D′=2x なので、分子は (x²+1)−2x²=1−x² となり、f′(x)=(1−x²)/(x²+1)² です。
曲線 y=x³−3x 上の点 (2,2) における接線の方程式として正しいものを選べ。
- y=3x−4
- y=9x−16 Correct answer.
- y=9x+16
- y=3x+4
Explanation
接線の傾きは微分係数で、y′=3x²−3 より x=2 のとき傾きは 9 です。点 (2,2) を通るので、接線は y−2=9(x−2) と表せます。これを整理すると y=9x−16 になります。
関数 f(x)=x³−6x²+9x の極小値として正しいものを選べ。
- −4
- 4
- 0 Correct answer.
- 9
Explanation
f′(x)=3x²−12x+9=3(x−1)(x−3) です。f′ の符号は x=1 の前後で正から負、x=3 の前後で負から正に変わるため、x=3 で極小になります。f(3)=27−54+27=0 なので極小値は 0 です。
曲線 y=x³−12x について、接線の傾きが負となる x の範囲として正しいものを選べ。
- −2<x<2 Correct answer.
- x>2
- x<−2
- x<−2 または x>2
Explanation
接線の傾きは y′=3x²−12 で与えられます。これを因数分解すると y′=3(x−2)(x+2) です。傾きが負になるのは (x−2)(x+2)<0 のときなので、−2<x<2 です。
曲線 y=x² に点 (2,3) から引ける接線のうち、傾きが大きい方の接線の方程式として正しいものを選べ。
- y=6x+9
- y=2x−1
- y=2x+1
- y=6x−9 Correct answer.
Explanation
接点の x 座標を t とすると、接線は y=2tx−t² です。これが点 (2,3) を通るので 3=4t−t²、すなわち t²−4t+3=0 となります。t=1,3 で傾きはそれぞれ 2,6 なので、大きい方は t=3 の接線 y=6x−9 です。
関数 f(x)=x√(4−x²) の最大値として正しいものを選べ。
- 4
- 2√2
- 2 Correct answer.
- √2
Explanation
定義域は −2≤x≤2 で、f′(x)=√(4−x²)−x²/√(4−x²)=(4−2x²)/√(4−x²) です。f′(x)=0 より x=±√2 で、x=√2 のとき f(√2)=√2·√2=2、x=−√2 のときは −2 です。端点での値は 0 なので、最大値は 2 です。
極限 lim_{x→0} (sin3x)/x の値として正しいものを選べ。
- 0
- 3 Correct answer.
- 6
- 1/3
Explanation
sin3x/x = 3·(sin3x)/(3x) と変形できる。x→0 のとき (sin3x)/(3x)→1 なので、極限は 3·1=3 となる。sin の引数と分母を一致させて基本極限 lim_{t→0}(sin t)/t=1 を用いるのが要点である。
関数 f(x)=x⁴−2x²+7 の導関数 f′(x) として正しいものを選べ。
- 4x³−2x
- 4x³−4x Correct answer.
- x³−4x
- 4x³−4x+7
Explanation
x⁴ の導関数は 4x³、−2x² の導関数は −4x、定数 7 の導関数は 0 である。したがって f′(x)=4x³−4x となる。各項を独立に微分し、定数項が消えることを確認する。
曲線 y=x³ の接線のうち、点 (2,0) を通り、接点の x 座標が正であるものの接点の x 座標として正しいものを選べ。
- 2
- 1
- 6
- 3 Correct answer.
Explanation
接点を (a, a³) とすると、接線は y=3a²(x−a)+a³=3a²x−2a³ と表せる。これが (2,0) を通る条件は 0=6a²−2a³=2a²(3−a) である。a>0 より a=3 となる。
方程式 x³−3x+1=0 の異なる実数解の個数として正しいものを選べ。
- 3 Correct answer.
- 2
- 1
- 4
Explanation
f(x)=x³−3x+1 とおくと f′(x)=3(x−1)(x+1) である。x=−1 で極大値 3、x=1 で極小値 −1 をとり、x→−∞ で f→−∞、x→∞ で f→∞ である。極大値と極小値が異符号なので、グラフは x 軸と 3 回交わる。
方程式 x³−3x²+a=0 が異なる3つの実数解をもつような定数 a の値の範囲として正しいものを選べ。
- a<0
- −4<a<0
- 0<a<4 Correct answer.
- a>4
Explanation
f(x)=x³−3x²+a とおくと f′(x)=3x(x−2) である。x=0 で極大値 a、x=2 で極小値 a−4 をとる。異なる3つの実数解をもつには極大値が正で極小値が負であればよいので、a>0 かつ a−4<0、すなわち 0<a<4 である。
関数 f(x)=x+√(1−x²)（−1≤x≤1）の最大値として正しいものを選べ。
- 3/2
- √2 Correct answer.
- 2
- 1
Explanation
f′(x)=1−x/√(1−x²) である。f′(x)=0 とすると √(1−x²)=x となり、両辺を二乗して 1−x²=x² から x=1/√2 を得る。このとき f(1/√2)=1/√2+1/√2=√2 で、両端点の値 1 より大きいので最大値は √2 である。
極限 lim_{x→1} (x²−3x+2)/(x−1) の値として正しいものを選べ。
- 0
- 2
- −1 Correct answer.
- 1
Explanation
分母が0になるため、そのままではx=1を代入できません。分子 x²−3x+2 を因数分解すると (x−1)(x−2) となり、x≠1 で約分できます。したがって lim_{x→1}(x−2)=−1 です。
関数 f(x)=x³+3x²−9x+5 の極大値と極小値の差として正しいものを選べ。
- 37
- 32 Correct answer.
- 0
- 27
Explanation
f′(x)=3x²+6x−9=3(x+3)(x−1) より、増減表から x=−3 で極大、x=1 で極小となります。f(−3)=32、f(1)=0 なので、極大値と極小値の差は 32−0=32 です。
定積分 ∫_0^1 (3x^2 + 2x) dx の値を求めよ。
- 2 Correct answer.
- 3
- 1
- 4
Explanation
各項の原始関数を求めると、3x^2 の原始関数は x^3、2x の原始関数は x^2 である。したがって ∫_0^1 (3x^2+2x)dx = [x^3+x^2]_0^1 = (1+1)-0 = 2 となる。多項式の定積分は、項ごとに原始関数を求めて上限と下限を代入し、その差をとる手順で計算する。
放物線 y = x^2 と直線 y = x で囲まれた部分の面積を求めよ。
- 1/2
- 1/3
- 1/12
- 1/6 Correct answer.
Explanation
交点は x^2 = x より x = 0, 1 である。0 < x < 1 では x > x^2 となるので、面積は ∫_0^1 (x - x^2) dx = [x^2/2 - x^3/3]_0^1 = 1/2 - 1/3 = 1/6 と求まる。積分する前に、区間内でどちらのグラフが上にあるかを確認することが要点である。
F(x) = ∫_0^x (t^2 + 1) dt とするとき、F'(x) を求めよ。
- x^2 + 1 Correct answer.
- 2x
- x^2 - 1
- x^3/3 + x
Explanation
積分の上限が変数 x であるとき、d/dx ∫_0^x f(t)dt = f(x) が成り立つ。これは微積分学の基本定理とよばれ、ここでは f(t) = t^2 + 1 なので F'(x) = x^2 + 1 となる。まず積分してから微分しても同じ結果が得られる。
曲線 y = √x、x軸、直線 x = 4 で囲まれた図形をx軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を求めよ。
- 16π
- 2π
- 4π
- 8π Correct answer.
Explanation
x軸のまわりに回転してできる立体の体積は π∫ y^2 dx で与えられる。y = √x より y^2 = x であり、積分区間は 0 から 4 である。よって π∫_0^4 x dx = π[x^2/2]_0^4 = π·8 = 8π となる。先に y^2 を計算すると平方根が消える点が要点である。
定積分 ∫_0^{π/2} sin^2 x dx の値を求めよ。
- π/4 Correct answer.
- 1/2
- π/8
- π/2
Explanation
半角の公式 sin^2 x = (1 - cos 2x)/2 を用いて次数を下げる。∫_0^{π/2} (1 - cos 2x)/2 dx = [x/2 - sin 2x/4]_0^{π/2} = π/4 - 0 = π/4 となる。sin 2x の項は両端 x = 0, π/2 でともに 0 になるため残らない。
曲線 y = x^3 と直線 y = x で囲まれた部分の面積を求めよ。
- 1
- 3/4
- 1/2 Correct answer.
- 1/4
Explanation
交点は x^3 = x より x = -1, 0, 1 である。区間によって上下関係が入れ替わるが、y = x^3 と y = x の差 x - x^3 は奇関数なので、面積は 2∫_0^1 (x - x^3) dx = 2(1/2 - 1/4) = 1/2 と計算できる。0 を境に分けて積分しても同じ値になる。
f(x) = x + 2∫_0^1 f(t) dt を満たす関数 f(x) を求めよ。
- f(x) = x - 1/2
- f(x) = 2x - 1
- f(x) = x - 1 Correct answer.
- f(x) = x + 1
Explanation
定積分 ∫_0^1 f(t)dt は定数なので、これを a とおくと f(x) = x + 2a と表せる。この式を 0 から 1 まで積分すると a = 1/2 + 2a となり、a = -1/2 が得られる。よって f(x) = x - 1 である。定積分を文字で置き換えるのが定石である。
定積分 ∫_0^2 |x^2 - x| dx の値を求めよ。
- 5/6
- 2/3
- 1/3
- 1 Correct answer.
Explanation
x^2 - x = x(x-1) であるから、0 ≤ x ≤ 1 では負、1 ≤ x ≤ 2 では正となる。絶対値を外して ∫_0^1 (x - x^2)dx + ∫_1^2 (x^2 - x)dx = 1/6 + 5/6 = 1 と計算する。符号が変わる x = 1 で積分区間を分けるのが要点である。
放物線 y = x^2 と直線 y = 2x で囲まれた図形をx軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を求めよ。
- 16π/5
- 8π/3
- 64π/15 Correct answer.
- 32π/15
Explanation
交点は x^2 = 2x より x = 0, 2 である。この区間では 2x ≥ x^2 なので、回転体の外側の半径は 2x、内側の半径は x^2 となる。よって V = π∫_0^2 ((2x)^2 - (x^2)^2)dx = π∫_0^2 (4x^2 - x^4)dx = π(32/3 - 32/5) = 64π/15 である。
放物線 y = x^2 - 2x と直線 y = x で囲まれた部分の面積を求めよ。
- 3/2
- 27/2
- 6
- 9/2 Correct answer.
Explanation
交点は x^2 - 2x = x より x^2 - 3x = 0、すなわち x = 0, 3 である。0 < x < 3 では直線 y = x が放物線より上にあるので、面積は ∫_0^3 (x - (x^2 - 2x))dx = ∫_0^3 (3x - x^2)dx = [3x^2/2 - x^3/3]_0^3 = 27/2 - 9 = 9/2 となる。
定積分 ∫_{-1}^{2} (x^2 - 2x + 1) dx の値を求めよ。
- 0
- 1
- 9/2
- 3 Correct answer.
Explanation
各項を積分すると原始関数は x^3/3 - x^2 + x です。x=2 で 2/3、x=-1 で -7/3 なので、差は 2/3-(-7/3)=3 になります。計算では下限と上限の順序に注意します。
G(x) = ∫_{x}^{2} (t^3 + 3t) dt とするとき、G'(x) を求めよ。
- 3x^2+3
- -x^3-3x Correct answer.
- x^3+3x
- -3x^2-3
Explanation
上限が定数で下限が x の積分は、上下を入れ替えて G(x)=-∫_2^x(t^3+3t)dt とします。微積分学の基本定理により、G'(x) は符号を変えた被積分関数 -(x^3+3x) です。被積分関数を微分するのではありません。
放物線 y=x^2 と直線 y=4 で囲まれた部分の面積を求めよ。
- 32/3 Correct answer.
- 64/3
- 16/3
- 8/3
Explanation
交点は x^2=4 より x=±2 です。上側の y=4 から下側の y=x^2 を引いて積分すると ∫_{-2}^{2}(4-x^2)dx=[4x-x^3/3]_-2^2=32/3 になります。対称性を使って 2∫_0^2(4-x^2)dx としても同じです。
曲線 y=x^3-4x と x軸で囲まれた部分の面積を求めよ。
- 8 Correct answer.
- 0
- 16
- 4
Explanation
交点は x(x^2-4)=0 より x=-2,0,2 です。0≤x≤2 では曲線が x軸より下、-2≤x≤0 では上なので、面積は 2∫_0^2(4x-x^3)dx=2[2x^2-x^4/4]_0^2=8 です。符号付き積分では打ち消し合う点に注意します。