斜面上の台車を水平に飛び出させる間接測定
高校2年のKさんは、力学台車を斜面で加速させ、水平な実験台の端から飛び出させて落下点までの水平距離を測る実験を行った。斜面の角度は30°で、台車は斜面の上端から静かに放した。実験台の高さは床から0.80 mで、台車が台の端を離れる瞬間の速度をvとする。床に固定した記録紙上の落下点は、台の端の真下から水平に0.60 mであった。重力加速度は9.8 m/s²とし、空気抵抗と台車の大きさは無視できるものとする。記録紙の位置の読み取り誤差は±0.01 m、高さの測定誤差は±0.01 mである。台車の質量は0.50 kgで、斜面には無視できない摩擦がある可能性がある。Kさんはまず空気抵抗を無視したモデルでvを求め、同じ条件でフォトゲートを使って測ったところ、フォトゲートの値は1.42 m/sであった。さらに、同じ装置を月面に持って行くと仮定し、月の重力加速度を1.6 m/s²として落下距離を予想した。Kさんは、間接測定の信頼性と、速度を1.5倍にするための斜面の条件を検討している。
1. 空気抵抗を無視したモデルで、台車が台の端を離れるときの速さvを求めよ。計算過程も示せ。
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台車が台の端を離れた後は水平投射とみなせる。鉛直方向は初速度0なので、0.80 m落下する時間tは 0.80 = (1/2)×9.8×t² より t = √(1.60/9.8) ≈ 0.404 s。水平方向は等速で、0.60 m進むので v = 0.60/0.404 ≈ 1.49 m/s。質量0.50 kgは水平投射の時間や水平速度に影響しない。したがって計算値は約1.49 m/sである。ただし、記録紙の位置と高さの読み取り誤差を考えると、有効数字2桁程度で1.5 m/sと表現するのが妥当である。
2. フォトゲートの値1.42 m/sと計算値1.49 m/sの差は、どのような要因で生じると考えられるか。2つ以上挙げ、それぞれが計算値を実際より大きくするか小さくするかを説明せよ。
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計算値は v = x√(g/(2h)) で決まるため、xを実際より長く読むと計算値は大きく出る。また、台の高さhを実際より低く測ると、計算値は大きく出る。逆に、空気抵抗は水平距離xを短くするので、同じxから求めた計算値は実際より小さく出る方向に働く。フォトゲートの値の方が小さい今回の差は、空気抵抗だけでは説明しにくく、記録紙の位置を長めに読んだ、あるいは高さを低めに測ったといった系統誤差の寄与が考えられる。フォトゲートにも校正誤差±0.02 m/sがあるため、差がすべて真の速度差とは限らない。
3. 同じ装置でvを1.5倍にするには、斜面の高さを何倍にすればよいか。摩擦と空気抵抗を無視し、斜面の角度は変えないものとして答えよ。また、月面で同じ高さから飛び出した場合の水平距離を、地球の場合と比べて説明せよ。
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摩擦を無視すると、斜面の高さHを使って (1/2)mv² = mgH より v = √(2gH) である。vを1.5倍にするにはHを1.5² = 2.25倍にすればよい。月面では同じ斜面高さHでも v月 = √(2g月H) となり、地球のvの√(1.6/9.8) ≈ 0.404倍になる。一方、台の高さhから落下する時間は t月 = √(2h/g月) で、地球の約2.47倍になる。水平距離は v月×t月 = √(2g月H)×√(2h/g月) = 2√(Hh) となり、gに依存しない。したがって、斜面高さと台の高さが同じなら、月面でも水平距離は地球上と同じ約0.60 mになると予想される。