斜面を下る台車の速さと摩擦力
摩擦の有無を調べる実験で、生徒は高さ0.45 m、水平面との角度30°の斜面の上から、質量0.20 kgの台車を静かに放した。最下点での台車の速さを光センサーで3回測定すると、2.70 m/s、2.68 m/s、2.72 m/sであった。空気抵抗は無視できるものとし、重力加速度を9.8 m/s²とする。摩擦がないと仮定したときの最下点の速さは約2.97 m/sである。生徒は「実測値が小さいのは空気抵抗のせいだ」と主張したが、斜面の角度を20°や40°に変えても、台車の質量を0.40 kgに変えても、実測値と理論値の差はほぼ同じ割合で現れた。台車の車輪はよく回転し、斜面は十分に長く、実験ごとに表面を乾いた布で拭いた。実験室の気温は20°Cで、風はなかった。生徒はエネルギー保存則を使って理論値を計算したが、摩擦の影響は考えていなかった。台車の速さは最下点の直前で測り、斜面の下端にはストッパーを置いて台車を止めた。同じ実験を5回繰り返したが、速さの平均は2.70 m/sであった。斜面の表面は木製で、車輪はプラスチック製である。測定はすべて同じ日に行った。
1. 摩擦がないと仮定したときの最下点の速さを計算し、実測値と比較して、台車に摩擦がはたらいているといえるか判断せよ。
Read the worked answer
力学的エネルギー保存則より、mgh = 1/2 mv² である。したがって v = √(2gh) = √(2 × 9.8 × 0.45) = √8.82 ≈ 2.97 m/s となる。実測値は約2.70 m/sで、理論値より約0.27 m/s小さい。3回の測定は2.68〜2.72 m/sでばらつきが小さく、同じ傾向が繰り返し現れている。空気抵抗だけでは説明しにくいほど差が大きいため、摩擦がはたらいていると判断できる。ただし、空気抵抗が全くないとは言えないので、摩擦の寄与が大きいと結論するのが妥当である。
2. 失われた力学的エネルギーから、斜面に沿った平均の摩擦力の大きさと、動摩擦係数を求めよ。
Read the worked answer
初期の位置エネルギーは mgh = 0.20 × 9.8 × 0.45 = 0.882 J。最下点の運動エネルギーは 1/2 × 0.20 × 2.70² = 0.729 J。失われたエネルギーは 0.882 − 0.729 = 0.153 J。斜面に沿った距離は h/sin30° = 0.45/0.5 = 0.90 m。平均の摩擦力 f は、f × 0.90 = 0.153 より f ≈ 0.17 N。垂直抗力 N = mg cos30° = 0.20 × 9.8 × 0.866 ≈ 1.70 N。動摩擦係数 μ = f/N ≈ 0.17/1.70 ≈ 0.10 となる。
3. 生徒の「空気抵抗が原因」という主張の妥当性を検討し、確かめる実験を一つ提案せよ。
Read the worked answer
空気抵抗は速さの2乗に比例するため、台車の速さや形を変えると影響が変わるはずである。同じ斜面で質量や形の異なる台車を用い、実測値と理論値の差が質量や形に依存するかを調べればよい。また、空気抵抗を減らすために、台車に風防をつける、真空に近い容器内で実験する、などが考えられる。もし空気抵抗が主因なら、質量を大きくしても差の割合はあまり変わらないが、形を変えると変わる。摩擦が主因なら、車輪の材質や斜面の粗さを変えると差が大きく変化する。このように、条件を変えた比較実験で原因を切り分けられる。