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Kyoto Entrance Science practice questions

One question at a time. Build your Kyoto Entrance Science understanding.

First 50 of 200 questions. Each one lists the choices, the correct answer, and an explanation. The checker at the top of this page saves progress in this browser when it is available.

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Question 1Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

座標平面上の2点 A(1, 2), B(4, 6) を結ぶ線分 AB の長さを求めよ。

  1. 7
  2. 25
  3. 5 Correct answer.
  4. √7

Explanation

2点間の距離は√((x₂−x₁)²+(y₂−y₁)²)で計算します。ここでは(4−1)²+(6−2)²=9+16=25なので、距離は√25=5となります。三平方の定理の直接の応用です。

Question 2Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

2次関数 y = x² − 4x + 7 のグラフの頂点の座標を求めよ。

  1. (2, 11)
  2. (2, 3) Correct answer.
  3. (4, 7)
  4. (−2, 3)

Explanation

平方完成すると y = (x−2)² + 3 となります。よって頂点は (2, 3) です。一般に y = a(x−p)² + q の頂点は (p, q) で与えられます。

Question 3Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

sin 30° + cos 60° の値を求めよ。

  1. √3/2
  2. 0
  3. 1 Correct answer.
  4. 1/2

Explanation

sin 30° = 1/2、cos 60° = 1/2 です。したがって和は 1/2 + 1/2 = 1 となります。代表角の三角比の値は暗記しておく必要があります。

Question 4Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

等差数列 3, 7, 11, 15, … の第10項を求めよ。

  1. 43
  2. 36
  3. 40
  4. 39 Correct answer.

Explanation

初項3、公差4の等差数列です。第n項は aₙ = 3 + (n−1)×4 で表され、n=10 のとき 3 + 9×4 = 39 となります。

Question 5Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

ベクトル a = (2, −1), b = (1, 3) について、a + 2b を求めよ。

  1. (4, 5) Correct answer.
  2. (5, 5)
  3. (3, 2)
  4. (4, 7)

Explanation

2b = (2, 6) です。これに a = (2, −1) を成分ごとに足すと (2+2, −1+6) = (4, 5) となります。スカラー倍と和は成分ごとに計算します。

Question 6Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

5人の生徒から3人を選んで1列に並べる順列の総数を求めよ。

  1. 125
  2. 20
  3. 60 Correct answer.
  4. 10

Explanation

順列の公式 ₙPᵣ = n!/(n−r)! を用います。5P3 = 5×4×3 = 60 となります。順序を区別する点が組合せとの違いです。

Question 7Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

整式 x³ − 1 を因数分解したものとして正しいものを選べ。

  1. (x − 1)³
  2. (x − 1)(x² − x + 1)
  3. (x + 1)(x² − x + 1)
  4. (x − 1)(x² + x + 1) Correct answer.

Explanation

a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²) の公式を用います。a = x, b = 1 とすると (x − 1)(x² + x + 1) となります。展開して確認しても元の式に戻ります。

Question 8Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

不等式 x² − 5x + 6 < 0 を満たす実数 x の範囲を求めよ。

  1. −3 < x < −2
  2. 2 < x < 3 Correct answer.
  3. x < 2 または x > 3
  4. x < −3 または x > −2

Explanation

x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3) と因数分解できます。2次不等式 < 0 の解は放物線がx軸より下にある区間で、2 < x < 3 となります。

Question 9Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

点 (1, 2) を通り、直線 y = 3x − 4 に平行な直線の方程式を求めよ。

  1. y = −(1/3)x + 7/3
  2. y = 3x + 5
  3. y = 3x + 1
  4. y = 3x − 1 Correct answer.

Explanation

平行な直線は同じ傾き3をもちます。y = 3x + b に点(1, 2)を代入すると 2 = 3 + b より b = −1 です。よって y = 3x − 1 となります。

Question 10Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

log₂ 8 + log₂ (1/4) の値を求めよ。

  1. 2
  2. −1
  3. 5
  4. 1 Correct answer.

Explanation

log₂ 8 = 3、log₂(1/4) = −2 です。和は 3 + (−2) = 1 となります。対数の積の法則から log₂(8×1/4) = log₂ 2 = 1 と確認できます。

Question 11Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

関数 f(x) = x³ − 3x の極値を調べたとき、極大値と極小値の組合せとして正しいものを選べ。

  1. 極大値 0（x = 0）、極小値 −2（x = 1）
  2. 極大値 2（x = −1）、極小値 −2（x = 1） Correct answer.
  3. 極大値 −2（x = 1）、極小値 2（x = −1）
  4. 極大値 2（x = 1）、極小値 −2（x = −1）

Explanation

f′(x) = 3x² − 3 = 3(x−1)(x+1) で、x = −1, 1 が極値の候補です。増減表より x = −1 で極大値 f(−1) = 2、x = 1 で極小値 f(1) = −2 をとります。

Question 12Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

∫₀¹ (3x² + 2x) dx の値を求めよ。

  1. 2 Correct answer.
  2. 1
  3. 5/2
  4. 3

Explanation

原始関数は x³ + x² です。0から1まで代入すると (1 + 1) − 0 = 2 となります。定積分は原始関数の端点の差で求めます。

Question 13Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

円 x² + y² = 25 上の点 (3, 4) における接線の方程式を求めよ。

  1. 4x + 3y = 25
  2. 3x − 4y = 25
  3. 3x + 4y = 25 Correct answer.
  4. x + y = 7

Explanation

円 x² + y² = r² 上の点 (x₁, y₁) における接線は x₁x + y₁y = r² です。x₁ = 3, y₁ = 4, r² = 25 を代入すると 3x + 4y = 25 となります。

Question 14Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

複素数 z = 1 + √3 i を極形式で表したものとして正しいものを選べ。

  1. 4(cos π/3 + i sin π/3)
  2. √3(cos π/3 + i sin π/3)
  3. 2(cos π/6 + i sin π/6)
  4. 2(cos π/3 + i sin π/3) Correct answer.

Explanation

絶対値は √(1² + (√3)²) = 2 です。偏角は tan θ = √3/1 より θ = π/3 となります。よって z = 2(cos π/3 + i sin π/3) です。

Question 15Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

放物線 y = x² と直線 y = x + 2 で囲まれた図形の面積を求めよ。

  1. 9
  2. 27/6
  3. 3/2
  4. 9/2 Correct answer.

Explanation

交点は x² = x + 2 より x = −1, 2 です。面積は ∫₋₁² (x + 2 − x²) dx で、計算すると 9/2 となります。上下関係を確認して積分します。

Question 16Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

sin θ + cos θ = 1/2 のとき、sin θ cos θ の値を求めよ。

  1. 3/8
  2. −1/4
  3. 1/4
  4. −3/8 Correct answer.

Explanation

両辺を2乗すると sin²θ + 2sinθcosθ + cos²θ = 1/4 です。sin²θ + cos²θ = 1 より 1 + 2sinθcosθ = 1/4 となり、sinθcosθ = −3/8 です。

Question 17Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

媒介変数表示 x = t², y = t³ で与えられる曲線について、t = 1 における dy/dx の値を求めよ。

  1. 3/2 Correct answer.
  2. 1
  3. 2/3
  4. 3

Explanation

dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt) です。dy/dt = 3t², dx/dt = 2t なので dy/dx = 3t/2 となります。t = 1 を代入すると 3/2 です。

Question 18Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

数列 aₙ が a₁ = 2, aₙ₊₁ = 2aₙ + 1 で定まるとき、一般項 aₙ を求めよ。

  1. aₙ = 2ⁿ + 1
  2. aₙ = 2ⁿ⁺¹ − 2
  3. aₙ = 3·2ⁿ⁻¹ − 1 Correct answer.
  4. aₙ = 3·2ⁿ − 1

Explanation

aₙ₊₁ + 1 = 2(aₙ + 1) と変形でき、{aₙ + 1} は初項3、公比2の等比数列です。よって aₙ + 1 = 3·2ⁿ⁻¹ で、aₙ = 3·2ⁿ⁻¹ − 1 となります。

Question 19Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

関数 y = e^(2x) cos x の導関数を求めよ。

  1. 2e^(2x) sin x
  2. e^(2x)(cos x − 2sin x)
  3. e^(2x)(2cos x + sin x)
  4. e^(2x)(2cos x − sin x) Correct answer.

Explanation

積の微分法を用います。(e^(2x))′ = 2e^(2x)、(cos x)′ = −sin x なので、y′ = 2e^(2x)cos x + e^(2x)(−sin x) = e^(2x)(2cos x − sin x) です。

Question 20Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

楕円 x²/9 + y²/4 = 1 の焦点の座標を求めよ。

  1. (±√13, 0)
  2. (0, ±√5)
  3. (±3, 0)
  4. (±√5, 0) Correct answer.

Explanation

長軸はx軸方向で a² = 9, b² = 4 です。焦点の位置は c² = a² − b² = 5 より c = √5 で、焦点は (±√5, 0) となります。

Question 21Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

次のデータ 2, 4, 4, 5, 10 の中央値と平均値の組合せとして正しいものを選べ。

  1. 中央値 4、平均値 5 Correct answer.
  2. 中央値 5、平均値 5
  3. 中央値 4.5、平均値 5
  4. 中央値 4、平均値 4

Explanation

データを小さい順に並べると中央の値は4なので中央値は4です。平均値は (2+4+4+5+10)/5 = 25/5 = 5 となります。外れ値10が平均を押し上げています。

Question 22Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

不定積分 ∫ x e^(x²) dx を求めよ。

  1. x e^(x²) + C
  2. (1/2)e^(x²) + C Correct answer.
  3. (1/2)x² e^(x²) + C
  4. 2e^(x²) + C

Explanation

t = x² と置換すると dt = 2x dx で、x dx = dt/2 です。よって ∫ (1/2)e^t dt = (1/2)e^t + C = (1/2)e^(x²) + C となります。

Question 23Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

3次方程式 x³ − 3x + 1 = 0 の実数解の個数を求めよ。

  1. 3個 Correct answer.
  2. 2個
  3. 0個
  4. 1個

Explanation

f(x) = x³ − 3x + 1 とすると f′(x) = 3(x² − 1) で、x = ±1 が極値点です。f(−1) = 3 > 0、f(1) = −1 < 0 で、両端の極限も考え合わせると実数解は3個あります。

Question 24Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

複素数平面上で、z が |z − 1| = 2 を満たしながら動くとき、|z + 1| の最大値を求めよ。

  1. 3
  2. 4 Correct answer.
  3. √2
  4. 2

Explanation

|z − 1| = 2 は点1を中心とする半径2の円です。|z + 1| は点−1からの距離で、円周上の点で最大となるのは中心から最も遠い点で、距離は |1 − (−1)| + 2 = 2 + 2 = 4 です。

Question 25Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

数列 aₙ = n/(2ⁿ)（n = 1, 2, 3, …）について、無限級数 Σ aₙ の和を求めよ。

  1. 1
  2. 3/2
  3. 2 Correct answer.
  4. 4

Explanation

S = Σ n/2ⁿ とすると、S − (1/2)S = Σ 1/2ⁿ = 1 となり、これは初項1/2、公比1/2の無限等比級数の和です。よって (1/2)S = 1 より S = 2 となります。

Question 26Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

2次関数 y = 2x² − 8x + 5 のグラフの頂点の座標を求めよ。

  1. (2, 3)
  2. (4, 5)
  3. (2, −3) Correct answer.
  4. (−2, 21)

Explanation

平方完成すると y = 2(x − 2)² − 3 となる。よって頂点は (2, −3) であり、軸は直線 x = 2 である。頂点の x 座標は −b/(2a) = 8/4 = 2 としても求められる。

Question 27Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

(x + 2)⁴ を展開したときの x² の係数を求めよ。

  1. 24 Correct answer.
  2. 6
  3. 8
  4. 32

Explanation

二項定理より (x+2)⁴ = Σ ₄Cₖ xᵏ 2^(4−k) である。x² の項は k = 2 のときで、係数は ₄C₂ · 2² = 6 · 4 = 24 となる。

Question 28Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

sin 15° の値を求めよ。

  1. (√2 − 1)/2
  2. (√6 + √2)/4
  3. (√6 − √2)/4 Correct answer.
  4. (√3 − 1)/2

Explanation

15° = 45° − 30° とみて加法定理を用いると sin15° = sin45°cos30° − cos45°sin30° = (√2/2)(√3/2) − (√2/2)(1/2) = (√6 − √2)/4 である。15° は鋭角なので値は正であり、実際 (√6 − √2)/4 > 0 である。

Question 29Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

赤玉4個と白玉3個が入った袋から同時に2個を取り出すとき、2個とも赤玉である確率を求めよ。

  1. 1/2
  2. 2/7 Correct answer.
  3. 4/7
  4. 3/7

Explanation

7個から2個を取り出す組合せは ₇C₂ = 21 通り。赤玉4個から2個を取り出すのは ₄C₂ = 6 通り。よって確率は 6/21 = 2/7 である。

Question 30Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

ベクトル a = (2, −1, 3), b = (1, 4, −2) の内積 a·b を求めよ。

  1. 12
  2. 8
  3. −8 Correct answer.
  4. −4

Explanation

内積は対応する成分の積の和である。a·b = 2·1 + (−1)·4 + 3·(−2) = 2 − 4 − 6 = −8 となる。

Question 31Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

媒介変数表示 x = 2cos θ, y = 3sin θ (0 ≤ θ < 2π) が表す曲線として正しいものを選べ。

  1. 楕円 x²/4 + y²/9 = 1 Correct answer.
  2. 双曲線 x²/4 − y²/9 = 1
  3. 放物線 y = (3/2)x²
  4. 円 x² + y² = 13

Explanation

cos θ = x/2, sin θ = y/3 と変形し、cos²θ + sin²θ = 1 に代入すると x²/4 + y²/9 = 1 を得る。これは長軸・短軸が座標軸に沿った楕円である。

Question 32Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

等比数列 3, 6, 12, … の初項から第8項までの和を求めよ。

  1. 765 Correct answer.
  2. 768
  3. 1530
  4. 381

Explanation

初項3、公比2の等比数列である。和の公式 Sₙ = a(rⁿ − 1)/(r − 1) より S₈ = 3(2⁸ − 1)/(2 − 1) = 3·255 = 765 となる。

Question 33Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

不定積分 ∫ (2x + 3)⁴ dx を求めよ。ただし C は積分定数とする。

  1. (2x + 3)⁵/10 + C Correct answer.
  2. (2x + 3)⁵ + C
  3. (2x + 3)⁵/5 + C
  4. 2(2x + 3)⁵ + C

Explanation

u = 2x + 3 とおくと du = 2dx なので dx = du/2。よって ∫u⁴·(du/2) = u⁵/10 + C = (2x+3)⁵/10 + C である。内側の微分係数 2 で割ることを忘れない。

Question 34Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

関数 y = x³ − 6x² + 9x のグラフの変曲点の座標を求めよ。

  1. (0, 0)
  2. (1, 4)
  3. (2, 2) Correct answer.
  4. (3, 0)

Explanation

y′ = 3x² − 12x + 9、y″ = 6x − 12 である。y″ = 0 より x = 2 で、この前後で y″ の符号が変わるので変曲点である。y(2) = 8 − 24 + 18 = 2 より (2, 2)。

Question 35Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

0 ≤ θ < 2π の範囲で、方程式 2cos²θ − sinθ − 1 = 0 を満たす θ の個数を求めよ。

  1. 4
  2. 3 Correct answer.
  3. 1
  4. 2

Explanation

cos²θ = 1 − sin²θ を代入すると 2 − 2sin²θ − sinθ − 1 = 0、すなわち 2sin²θ + sinθ − 1 = 0。因数分解して (2sinθ − 1)(sinθ + 1) = 0 より sinθ = 1/2 または sinθ = −1。前者は θ = π/6, 5π/6 の2個、後者は θ = 3π/2 の1個で、合計3個である。

Question 36Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

微分係数の定義に基づき、関数 f(x) = √x (x > 0) の導関数を求めよ。

  1. 1/(2√x) Correct answer.
  2. √x/2
  3. 2√x
  4. 1/√x

Explanation

f′(x) = lim[h→0] (√(x+h) − √x)/h の分子を有理化すると (h)/(h(√(x+h)+√x)) となり、h を約分して極限をとると 1/(2√x) である。x^1/2 の微分として (1/2)x^(−1/2) としても同じ結果になる。

Question 37Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

複素数 z = 2 + i のとき、z の共役複素数と z の積 z z̄ の値を求めよ。

  1. 5 Correct answer.
  2. 4
  3. √5
  4. 3

Explanation

共役複素数は z̄ = 2 − i であり、積は (2+i)(2−i) = 4 − i² = 4 + 1 = 5 となる。これは |z|² に等しく、|z| = √5 の2乗である。

Question 38Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

点 A(1, 2, 3) と点 B(4, 6, 3) の間の距離を求めよ。

  1. √13
  2. 5 Correct answer.
  3. 7
  4. 25

Explanation

距離は √((4−1)² + (6−2)² + (3−3)²) = √(9 + 16 + 0) = √25 = 5 である。z 座標が等しいので平面上の距離と一致する。

Question 39Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

定積分 ∫₀^(π/2) sin²x dx の値を求めよ。

  1. π/4 Correct answer.
  2. π/2
  3. 1
  4. 1/2

Explanation

半角の公式 sin²x = (1 − cos2x)/2 を用いる。積分は [x/2 − sin2x/4]₀^(π/2) = π/4 − 0 = π/4 となる。

Question 40Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

漸化式 a₁ = 1, aₙ₊₁ = aₙ + 2n (n ≥ 1) で定まる数列の一般項を求めよ。

  1. aₙ = n² + n − 1
  2. aₙ = 2n − 1
  3. aₙ = n² − n + 1 Correct answer.
  4. aₙ = n² + 1

Explanation

階差が aₙ₊₁ − aₙ = 2n であるから、n ≥ 2 のとき aₙ = a₁ + Σ[k=1→n−1] 2k = 1 + (n−1)n = n² − n + 1。n = 1 でも 1 となり成立する。

Question 41Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

3枚の硬貨を同時に投げるとき、表の枚数の期待値を求めよ。

  1. 3/2 Correct answer.
  2. 1
  3. 1/2
  4. 2

Explanation

表の枚数 X は二項分布に従い、各硬貨が表になる確率は 1/2 である。期待値は 3 × 1/2 = 3/2 となる。定義どおり Σ k·P(X=k) を計算しても 0·1/8 + 1·3/8 + 2·3/8 + 3·1/8 = 3/2 である。

Question 42Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

不等式 |2x − 5| < 3 を満たす実数 x の範囲を求めよ。

  1. 1 < x < 4 Correct answer.
  2. −4 < x < −1
  3. x > 4
  4. x < 1 または x > 4

Explanation

|2x − 5| < 3 は −3 < 2x − 5 < 3 と同値である。各辺に5を加えて 2 < 2x < 8、2で割って 1 < x < 4 となる。

Question 43Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

関数 f(x) = x³ − 3x² + 4 の極大値を求めよ。

  1. 2
  2. −1
  3. 4 Correct answer.
  4. 0

Explanation

f′(x) = 3x² − 6x = 3x(x − 2) より臨界点は x = 0, 2。増減表から x = 0 で極大となり、f(0) = 4 である。x = 2 では f(2) = 0 で極小となる。

Question 44Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

座標平面上の3点 A(0, 0), B(4, 0), C(0, 3) を頂点とする三角形の外接円の半径を求めよ。

  1. √7
  2. 5/2 Correct answer.
  3. 13/2
  4. 5

Explanation

∠A = 90° の直角三角形であり、斜辺 BC が外接円の直径となる。BC = √(4² + 3²) = 5 なので半径は 5/2 である。

Question 45Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

関数 y = log(x² + 1) の導関数を求めよ。

  1. 2x log(x² + 1)
  2. 2x/(x² + 1) Correct answer.
  3. 2x(x² + 1)
  4. 1/(x² + 1)

Explanation

合成関数の微分により、外側 log u の微分 1/u と内側 u = x² + 1 の微分 2x を掛ける。よって dy/dx = 2x/(x² + 1) である。

Question 46Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

(1 + i)⁶ を計算した値を求めよ。

  1. 8i
  2. −8
  3. 8
  4. −8i Correct answer.

Explanation

1 + i = √2(cos45° + i sin45°) と極形式で表せる。ド・モアブルの定理より (1+i)⁶ = (√2)⁶(cos270° + i sin270°) = 8(0 − i) = −8i である。

Question 47Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

放物線 y = x² 上の点 (1, 1) における接線と、x 軸および y 軸で囲まれた三角形の面積を求めよ。

  1. 1/4 Correct answer.
  2. 1
  3. 2
  4. 1/2

Explanation

y′ = 2x より接線の傾きは 2 で、接線は y = 2x − 1 である。x 切片は x = 1/2、y 切片は y = −1 なので、面積は (1/2)·(1/2)·1 = 1/4 となる。

Question 48Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

データ 3, 5, 5, 7, 10 について、分散を求めよ。ただし分散は平均値からの偏差の2乗の平均とする。

  1. 4.48
  2. 5.6 Correct answer.
  3. 5
  4. 28

Explanation

平均は (3+5+5+7+10)/5 = 6 である。偏差の2乗は 9, 1, 1, 1, 16 で、合計 28。これを個数 5 で割ると分散は 28/5 = 5.6 となる。

Question 49Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

整式 P(x) を x − 2 で割った余りが 5、x + 1 で割った余りが −4 であるとき、P(x) を (x − 2)(x + 1) で割った余りを求めよ。

  1. −3x + 11
  2. 3x − 1 Correct answer.
  3. x + 3
  4. 3x + 1

Explanation

求める余りは1次以下なので ax + b とおける。剰余の定理より P(2) = 2a + b = 5、P(−1) = −a + b = −4。連立して a = 3, b = −1 となり、余りは 3x − 1 である。

Question 50Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

関数 f(x) = x⁴ − 4x³ の最小値を求めよ。

  1. −16
  2. −32
  3. 0
  4. −27 Correct answer.

Explanation

f′(x) = 4x³ − 12x² = 4x²(x − 3) より、x = 0 は停留点だが符号変化せず、x = 3 で極小となる。f(3) = 81 − 108 = −27 であり、両端で f → +∞ なのでこれが最小値である。