数学（数学I・II・III・A・B）
京都大学の理系数学は150分・6題の記述式で、配点はほぼ均等。小問が連なる誘導形式が多く、前半で導いた結果を後半で使う設計のため、途中で止めた答案は部分点しか伸びない。問われるのは計算速度より、条件の整理と論証の完結性である。
答案の骨格
- 与えられた条件を文字で置き直し、定義域・変域・場合分けの条件を冒頭で確定する。
- 「示せ」は結論から逆算し、数学的帰納法・背理法・対偶のどれが最短かを選ぶ。
- 場合分けは排反かつ網羅であることを一言書く。
頻出分野
- 数学III: 極限（はさみうち、平均値の定理）、微分（接線、凹凸、媒介変数表示）、積分（置換、部分積分、回転体の体積、曲線の長さ）。
- 整数: 合同式、ユークリッドの互除法、不定方程式、無理数であることの証明。
- 確率・数列: 特性方程式による漸化式、確率漸化式、期待値。
- ベクトル・複素数平面: 一次独立、共面条件、回転移動と軌跡。
例題（漸化式）
a₁=1、a_{n+1}=a_n/(2a_n+1) の一般項を求める。分母に a_n が入る一次分数形なので逆数をとると 1/a_{n+1}=1/a_n+2。これは公差2の等差数列で、b_n=1/a_n とおくと b_n=1+2(n−1)=2n−1。よって a_n=1/(2n−1)。n=1 を代入して検算し、漸化式に戻して成立を確認する。
失点しやすい箇所
- 置換積分で dx と dt の対応、積分区間の変換を書き忘れる。
- 文字で両辺を割る操作の場合分け漏れ（0の可能性を消していないか）。
- 定理の前提（連続性、微分可能性、区間）を書かずに使う。
- 最終行が「よって示された」だけで、根拠の式が答案に残っていない。