斜面上の台車と力学的エネルギー
理科の授業で、質量0.50 kgの台車を高さ0.80 mの斜面上から静かに放し、なめらかな斜面を下らせて水平な机の上を走らせた。机の端に取り付けた軽いばねに当たる直前の台車の速さを、光電管を使って測定すると3.6 m/sだった。重力加速度を9.8 m/s²とし、斜面と机は同じ材質で、摩擦や空気抵抗は完全にはなくならないが、実験はすべて同じ条件で行った。次に、同じ形で質量1.0 kgの台車を同じ高さから放すと、ばねに当たる直前の速さは3.5 m/sだった。生徒は「位置エネルギーの減少分はすべて運動エネルギーになったはずだ」と考え、0.50 kgの台車では計算値と測定値が一致しないことを不思議に思った。また、質量を2倍にしても速さは2倍にならなかったので、「重い物体ほど速く落ちる」という考えを確かめたいと言った。ばねは十分に軽く、台車はばねに当たった後、いったん押し縮めてから戻るとする。台車の大きさは無視でき、測定の誤差は小さいものとする。斜面の角度は約30°で、台車は斜面の同じ位置から放した。
1. 0.50 kgの台車について、位置エネルギーの減少分と、ばねに当たる直前の運動エネルギーを求めよ。その結果から、力学的エネルギーが保存したかどうかを判断し、理由を説明せよ。
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位置エネルギーの減少分は mgh = 0.50×9.8×0.80 = 3.92 J。運動エネルギーは (1/2)mv² = 0.5×0.50×3.6² = 3.24 J。差は 3.92−3.24 = 0.68 J で、運動エネルギーは位置エネルギーの約83%しかない。したがって、この実験では力学的エネルギーは保存していない。失われた0.68 Jは、斜面や机での摩擦、空気抵抗によって熱や音のエネルギーに変わったと考えるのが妥当である。ただし、摩擦を無視した理想モデルでは保存すると予想されるので、測定値と理論値のずれを摩擦の影響として説明できる。
2. 質量1.0 kgの台車について、位置エネルギーの減少分と運動エネルギーを求め、失われた力学的エネルギーを計算せよ。また、質量を2倍にしても速さが2倍にならない理由を、力と加速度の関係から説明せよ。
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1.0 kgでは mgh = 1.0×9.8×0.80 = 7.84 J、運動エネルギーは 0.5×1.0×3.5² = 6.125 J。失われたエネルギーは 7.84−6.125 = 1.715 J ≈ 1.7 J で、0.50 kgのときの約2.5倍である。重い台車にはたらく重力は2倍になるが、質量も2倍なので、斜面方向の加速度 a = g sinθ は質量によらずほぼ同じになる。摩擦力も質量に比例して大きくなるため、摩擦による減速も質量だけで大きくは変わらない。したがって、同じ高さから放しても速さは2倍にならず、ほぼ同じか、摩擦の影響で少し小さくなる。
3. この実験の結果から「重い物体ほど速く落ちる」という考えを支持できるか。0.50 kgと1.0 kgの速さを比べて判断せよ。
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支持できない。同じ高さから放したとき、0.50 kgの台車は3.6 m/s、1.0 kgの台車は3.5 m/sで、重い方が速いどころかわずかに小さい。空気抵抗や摩擦の影響を考えても、質量を2倍にしたから速さが2倍になったという結果はない。斜面を下る速さは、理想的には質量によらず同じになる。この実験では、摩擦などの影響で測定値に差が出たと考えるのが自然で、「重い物体ほど速く落ちる」という一般化はできない。