斜面と丘を進む台車のエネルギー収支
理科部の生徒が、質量0.10 kgの台車を使ってエネルギー保存を調べた。台車を、摩擦が小さいとされる斜面の高さ0.45 mから静かに放し、最下点の速さを光電センサーで測定したところ2.7 m/sだった。さらに、そのまま高さ0.20 mの滑らかな丘を越えさせ、丘の頂上での速さを測ると1.1 m/sだった。空気抵抗は小さいものとする。重力加速度は9.8 m/s²である。生徒は「最下点の速さは2.7 m/sなので、0.20 mの丘なら余裕で越えられるはずだ」と予想していた。実験は25℃の室内で行われ、斜面と丘は同じ素材のレールで、継ぎ目が1か所ある。測定は1回だけである。同じ実験を別の班が行うと、最下点の速さは2.9 m/sだった。生徒は「最下点の速さが理論値より小さいのは、空気抵抗のせいだ」と結論した。台車の車輪は小さく、レールとの間にわずかな摩擦がある。丘の頂上を越えた台車は、水平な床に敷いた布の上で0.80 m進んで止まった。生徒は結果を考察するために、力学的エネルギーの変化を計算しようと考えた。
1. 摩擦や空気抵抗がないと仮定したとき、最下点の速さは何 m/s か。有効数字2桁で求め、実測値2.7 m/sとの違いをエネルギー収支の言葉で説明せよ。
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摩擦や空気抵抗がなければ、位置エネルギーの減少が運動エネルギーになる。
[mgh=\frac12 mv^2 \Rightarrow v=\sqrt{2gh}]
(v=\sqrt{2\times9.8\times0.45}=\sqrt{8.82}\approx3.0\ \mathrm{m/s})。実測は2.7 m/sで、理論値より約0.3 m/s小さい。
エネルギーで見ると、放出時の位置エネルギーは (0.10\times9.8\times0.45=0.441\ \mathrm{J})、最下点の運動エネルギーは (\frac12\times0.10\times2.7^2=0.3645\ \mathrm{J})。差の約0.077 Jが、レールの継ぎ目や車輪の摩擦、空気抵抗などで失われた分である。したがって「理論値より小さい」こと自体は、エネルギー損失の存在を示す。
2. 実測の最下点2.7 m/sを用い、丘の頂上で摩擦がなければ速さは何 m/s になるか。実測1.1 m/sと比べ、損失が斜面と丘のどちらで大きいか議論せよ。
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最下点の実測値2.7 m/sを基準にすると、運動エネルギーは0.3645 J。高さ0.20 mを上るのに必要な位置エネルギーは (0.10\times9.8\times0.20=0.196\ \mathrm{J})。摩擦がなければ残りの運動エネルギーは (0.3645-0.196=0.1685\ \mathrm{J})で、速さは (v=\sqrt{2\times0.1685/0.10}=\sqrt{3.37}\approx1.8\ \mathrm{m/s})。実際は1.1 m/sなので、丘の区間でも損失がある。
損失は、斜面〜最下点で約0.077 J、最下点〜丘の頂上で (0.1685-\frac12\times0.10\times1.1^2=0.1685-0.0605=0.108\ \mathrm{J})。丘の区間の損失の方が大きい。ただし距離や継ぎ目の位置が違うので、損失の大小だけで摩擦係数を比べることはできない。
3. 別の班は2.9 m/sを得た。測定1回だけの結果から「空気抵抗のせいだ」と結論してよいか。改善案を1つ具体的に述べよ。
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1回の測定だけでは結論できない。別の班が2.9 m/sを得ていることは、測定ごとのばらつきが0.2 m/s程度あることを示す。空気抵抗の影響は速度や形に依存するが、レールの継ぎ目や車輪の摩擦、リリースの仕方も同じくらい効く。
改善案：同じ条件で5回以上測定して平均とばらつきを出す。さらに、空気抵抗を小さくする工夫（台車に風防を付ける、重い台車に変える）と、レールの継ぎ目をテープで滑らかにする工夫を別々に試し、どちらで理論値に近づくかを比較する。1回の結果から原因を断定せず、変えた条件と結果を対応させる。