3観測点のS-P時間差から震央を決める
地質班のMさんは、3つの観測点A(0, 0)、B(60, 0)、C(30, 90)（座標の単位はkm、x軸は東、y軸は北）で地震波を記録した。観測点にはGPS時刻で同期した100 Hzサンプリングの地震計を設置し、P波速度6.0 km/s、S波速度3.5 km/sと仮定した。Mさんが読み取ったS波-P波到達時間差は、Aで4.0 s、Bで9.0 s、Cで16.0 sだった。AとBではP波・S波ともに明瞭な立ち上がりが得られたが、CではS波の到達が不明瞭で、後続のphaseと区別しにくかった。Mさんは3点の距離を計算し、三つの円の交点から震央を求めたが、Cの円だけが他の2円と大きくずれた。Cの観測点は谷底の厚い堆積層の上にあり、S波が遅くなる可能性が指摘されている。また、MさんはAとBの2点だけでも震央が決まると考えている。震源の深さは考慮していない。
1. A、B、Cそれぞれについて、S波-P波到達時間差から震源距離を求める式を導き、数値を計算せよ。
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震源距離をdとすると、P波の到達時刻は tP = t0 + d/vP、S波は tS = t0 + d/vS である。差をとると
Δt = tS − tP = d(1/vS − 1/vP)
よって d = Δt / (1/vS − 1/vP) = Δt × (vP·vS)/(vP − vS)。
vP = 6.0 km/s、vS = 3.5 km/s を代入すると、1/3.5 − 1/6.0 = 0.2857 − 0.1667 = 0.1190 s/km。その逆数は8.4 km/sなので、d = 8.4 × Δt である。
- A：d = 8.4 × 4.0 = 33.6 km
- B：d = 8.4 × 9.0 = 75.6 km
- C：d = 8.4 × 16.0 = 134.4 km
この式は震源を点とみなし、速度が一定で水平成層とみなせる場合の近似である。深さを無視しているので、実際には見かけの距離は震源距離より少し大きくなる可能性がある。
2. AとBの2点だけを用いて震央の候補を求め、Cのデータがどちらの候補を支持するか判定せよ。Cのずれの原因も考察せよ。
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Aを中心とする半径33.6 kmの円と、Bを中心とする半径75.6 kmの円の交点を求める。
x² + y² = 33.6² = 1128.96 (x − 60)² + y² = 75.6² = 5715.36
辺々引くと −120x + 3600 = 4586.4、よって x = (3600 − 4586.4)/120 = −8.22 km。これを第1式に代入して y² = 1128.96 − 67.6 = 1061.4、y = ±32.6 km。候補は (−8.2, +32.6) と (−8.2, −32.6) の2つで、2点だけでは決まらない。
C(30, 90)からの距離を計算すると、北の候補までは √(38.2² + 57.4²) ≈ 68.9 km、南の候補までは √(38.2² + 122.6²) ≈ 128.4 km。Cの見かけの距離134.4 kmは南の候補に近い（差6.0 km、時間差にして約0.7 s）。北の候補とは65 km（約7.8 s）も違う。したがってCは南の候補を支持する。
Mさんが「Cの円だけ大きくずれた」と感じたのは、北の候補と比べたためである。南の候補を採れば、Cのずれは0.7 s程度の読み取りの遅れにすぎない。谷底の厚い堆積層ではS波速度が低下してS波が遅れて届くので、Δtが実際より大きく見積もられ、距離が過大になる。134.4 kmが128 km程度になる方向は、このsite effectと整合する。つまり原因は、解の選び方の誤りと、CでのS波の遅れ（および不明瞭な立ち上がりの読み違い）である。
3. この地域で震源をより確実に決めるには、観測と解析をどう改善すべきか。具体的に2つ以上提案せよ。
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① 観測点を増やし、未知数を連立で解く：未知数は震央のx、y、深さz、発生時刻t0の4つなので、最低4点、できれば6点以上で P波・S波の到達時刻を最小二乗法で解く。A・Bの2点だけでは今回のように2解が残る。
② 3成分記録でS波を同定する：S波は水平動が卓越するので、南北・東西・上下の particle motion を見れば、Cのような不明瞭な記録でも後続phaseと区別しやすい。波形同士の相互相関で到達時刻をそろえれば、読み取りのばらつきを0.1 s以下にできる。
③ サイト特性の補正：Cのような堆積層上の観測点は増幅と遅延が起こる。基盤岩上の観測点を加える、Vs30やボアホール記録で補正する、あるいはCを距離の計算から外して検証用に使う。
④ 速度構造の見直し：6.0/3.5 km/sという一様速度の仮定を、屈折法や既存の走時曲線で置き換える。深さを無視した円の交点ではなく、走時インバージョンで解く。