Mathématiques : analyse, algèbre et probabilités
Ce que l'épreuve évalue
L'épreuve de mathématiques du concours ENA Meknès porte sur trois blocs : l'analyse (suites, limites, continuité, dérivation, intégration, équations différentielles), l'algèbre linéaire (matrices, déterminants, espaces vectoriels, diagonalisation) et les probabilités (dénombrement, probabilités conditionnelles, variables aléatoires, lois usuelles). Le correcteur attend des résultats exacts, des conditions d'application vérifiées et une rédaction qui relie chaque calcul à l'énoncé.
Règles et concepts à maîtriser
- Analyse : le théorème des valeurs intermédiaires exige la continuité sur un intervalle fermé ; les développements limités servent aux formes indéterminées ; toute intégration par parties suppose des fonctions de classe C1 sur le segment.
- Algèbre : une matrice carrée est inversible si et seulement si son déterminant est non nul ; la diagonalisation exige de vérifier que la somme des dimensions des sous-espaces propres égale la taille de la matrice.
- Probabilités : distinguer P(A∩B) = P(A)P(B|A) de l'indépendance ; l'espérance est linéaire, la variance ne l'est pas ; une loi binomiale modélise un nombre de succès dans n épreuves indépendantes de même paramètre p.
Exemple rédigé
Calculer I = ∫₀¹ x e^(−x) dx. On pose u = x et dv = e^(−x) dx, donc du = dx et v = −e^(−x). Par intégration par parties : I = [−x e^(−x)]₀¹ + ∫₀¹ e^(−x) dx = −1/e + [−e^(−x)]₀¹ = −1/e + (1 − 1/e) = 1 − 2/e ≈ 0,264. Le résultat est positif, cohérent avec x e^(−x) > 0 sur ]0,1[.
Pièges qui coûtent des points
Oublier de justifier l'existence d'une limite avant de la calculer ; confondre primitive et dérivée ; perdre un signe dans une intégration par parties ; écrire P(A|B) = P(B|A) ; diagonaliser sans vérifier les multiplicités ; donner un décimal sans valeur exacte.