مناقشة عدد حلول معادلة أسّية بمَعلَمة: خطأ جوهري أم جزئي؟
Lors d'un devoir surveillé de deux heures en Terminale scientifique, les élèves devaient discuter, suivant les valeurs du réel m, le nombre de solutions de l'équation (E_m) : e^(2x) − 2e^x + m = 0. Un élève pose X = e^x, obtient X² − 2X + m = 0, calcule Δ = 4 − 4m, écrit « deux racines si m < 1, une racine double si m = 1, aucune si m > 1 », puis conclut : « donc (E_m) admet deux solutions pour tout m < 1 ». Il n'écrit jamais la condition X > 0 et ne vérifie pas le signe des racines. Le barème prévoit 4 points pour la discussion complète. Le corrigé de la commission donne, sans démonstration, le tableau suivant : m > 1 : aucune solution ; m = 1 : une solution ; 0 < m < 1 : deux solutions ; m ≤ 0 : une solution. Deux correcteurs s'opposent : l'un propose 2/4, l'autre 1/4, au motif que « la conclusion finale est fausse ». Le chef de commission exige une justification écrite, un calcul complet et une règle de notation applicable à toutes les copies présentant la même erreur.
1. Résoudre complètement la discussion et démontrer le tableau du corrigé.
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1. Changement de variable. On pose X = e^x. La fonction exponentielle est une bijection de ℝ sur ]0 ; +∞[, donc l'équation (E_m) a exactement autant de solutions x que l'équation X² − 2X + m = 0 a de racines strictement positives.
2. Racines en X. Δ = 4 − 4m = 4(1 − m).
- m > 1 : Δ < 0 → aucune racine réelle → aucune solution en x.
- m = 1 : X = 1 (racine double), et 1 > 0 → x = 0 → une solution.
- m < 1 : X₁ = 1 − √(1−m) et X₂ = 1 + √(1−m). On a toujours X₂ ≥ 1 > 0, donc X₂ fournit toujours une solution x = ln(1 + √(1−m)).
3. Sort de X₁. X₁ > 0 ⟺ 1 − √(1−m) > 0 ⟺ √(1−m) < 1 ⟺ 1 − m < 1 ⟺ m > 0.
- 0 < m < 1 : X₁ > 0 → deux solutions (ln X₁ et ln X₂).
- m = 0 : X₁ = 0, valeur refusée (ln 0 n'existe pas) → une seule solution, x = ln 2.
- m < 0 : X₁ < 0, refusée → une seule solution, x = ln(1 + √(1−m)).
4. Tableau final. m > 1 : 0 solution ; m = 1 : 1 ; 0 < m < 1 : 2 ; m = 0 : 1 ; m < 0 : 1, ce qui s'écrit bien « m ≤ 0 : une solution ». Le corrigé est donc exact, mais il n'est valide que parce que la condition X > 0 a été explicitement testée.
2. Expliquer précisément l'erreur du candidat et proposer une note motivée sur 4, avec la règle de notation à retenir.
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Nature de l'erreur. L'élève confond le nombre de racines de l'équation auxiliaire en X avec le nombre de solutions en x. Il oublie que le changement de variable n'est pas une simple translation : l'exponentielle ne prend que des valeurs strictement positives. Sa conclusion « deux solutions pour tout m < 1 » est donc fausse sur toute la partie m ≤ 0, et il annonce notamment deux solutions pour m = 0 alors que X = 0 n'a pas d'antécédent.
Ce qui est acquis. La mise en équation, le calcul du discriminant et la discussion du signe de Δ sont justes ; le tableau en X est même correct dans ses grandes lignes. Ce qui manque est l'étape de contrôle (signe des racines, réciproque de exp).
Note proposée : 2/4. Répartition : 1 pt pour la pose X = e^x et l'équation auxiliaire ; 1 pt pour Δ et la discussion en X ; 0 pt pour la discussion finale, fausse sur un intervalle entier. Le 1/4 est trop sévère (le travail intermédiaire est réel), le 3/4 trop généreux (la question posée est justement la discussion finale).
Règle à inscrire au corrigé. Tout changement de variable imposant un domaine (X > 0, X ≥ 0, X ∈ [−1 ; 1]) doit être explicité : on retire la moitié des points de la question si le domaine n'est pas traité, même si l'équation auxiliaire est correctement résolue.