Clôture d'un parc à bétail : le maximum d'aire n'est pas la solution
À Dosso, une coopérative d'éleveurs veut clôturer un parc rectangulaire adossé à un mur déjà construit : aucun grillage n'est donc nécessaire sur ce côté. Le stock disponible représente 60 m de grillage, dont il faut retirer une porte de 4 m à installer sur le côté parallèle au mur. Le parc doit offrir au moins 500 m² au bétail. Autre contrainte : le long du côté parallèle au mur passe un canal d'irrigation, et la longueur du parc ne peut pas dépasser 30 m. Un technicien propose un parc de 16 m sur 32 m, obtenu en partageant le grillage en deux. Le président de la coopérative répond qu'il faut plutôt chercher le maximum d'aire, puisque l'objectif est une grande surface. Aucun des deux n'a vérifié les contraintes. Le trésorier rappelle que les 60 m sont un plafond, pas un objectif. Vous devez arbitrer et fournir un plan de clôture défendable.
1. En notant x la largeur (côté perpendiculaire au mur) et y la longueur (côté parallèle au mur), exprimez l'aire A en fonction de x, puis déterminez les dimensions qui maximisent A. Cette aire maximale garantit-elle à elle seule l'exigence des 500 m² ?
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Mise en équation. Le grillage occupe les deux largeurs et une seule longueur, moins la porte :
2x + y − 4 = 60, donc y = 64 − 2x.
Domaine utile : x > 0 et y > 0, soit 0 < x < 32.
Aire. A(x) = x(64 − 2x) = −2x² + 64x = −2(x − 16)² + 512.
C'est un trinôme du second degré de coefficient dominant négatif : le maximum est atteint au sommet x = 16 m, d'où y = 32 m et A_max = 512 m².
Réserve de méthode. A_max = 512 m² > 500 m² montre que l'exigence est réalisable, mais ne la garantit pas : le maximum n'est qu'une valeur atteinte en un seul point, et 12 m² de marge représentent 2,3 % de l'aire. Il faut donc étudier l'inéquation A(x) ≥ 500, pas seulement calculer le sommet. Une erreur fréquente consiste à écrire « 500 ≤ 512 donc c'est bon » : c'est confondre valeur maximale et ensemble des valeurs atteintes.
2. Déterminez l'ensemble des largeurs x compatibles à la fois avec l'aire minimale de 500 m² et avec la longueur maximale de 30 m imposée par le canal. Proposez un couple (x, y) réalisable et vérifiez le grillage.
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Contrainte d'aire.
−2x² + 64x ≥ 500 ⟺ 2x² − 64x + 500 ≤ 0 ⟺ x² − 32x + 250 ≤ 0.
Δ = 32² − 4×250 = 1024 − 1000 = 24, donc les racines sont x = 16 ± √6, soit environ 13,55 m et 18,45 m. Comme le trinôme est tourné vers le haut, A(x) ≥ 500 sur [13,55 ; 18,45].
Contrainte du canal.
y ≤ 30 ⟺ 64 − 2x ≤ 30 ⟺ x ≥ 17.
Intersection. x ∈ [17 ; 18,45], d'où y = 64 − 2x ∈ [27,1 ; 30].
Choix. x = 17 m et y = 30 m : aire = 510 m² (≥ 500), longueur = 30 m (limite du canal). Vérification du grillage : 2×17 + 30 − 4 = 60 m, exactement le stock disponible. Un choix intérieur, par exemple x = 17,5 m et y = 29 m (aire 507,5 m²), laisse au contraire une marge des deux côtés et résiste mieux aux imprécisions de mesure.
3. Le technicien propose 16 m × 32 m ; le président affirme qu'il suffit de maximiser l'aire. Critiquez les deux positions et justifiez la décision retenue.
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Le technicien. Son calcul est arithmétiquement exact : 2×16 + 32 − 4 = 60 m de grillage et 16×32 = 512 m². Mais son découpage « moitié-moitié » n'a aucune justification mathématique, et surtout il viole la contrainte du canal : y = 32 m > 30 m. Le parc est donc irrecevable, même avec une aire correcte.
Le président. Il confond seuil et optimum. L'objectif est A ≥ 500 m², pas A maximale ; or le point qui maximise viole lui aussi le canal (x = 16 donne y = 32). Raisonner au maximum ne laisse que 12 m² de marge, si bien qu'une erreur de mesure sur la longueur de grillage ou sur la largeur de la porte fait passer sous le seuil.
Décision. Choisir x dans [17 ; 18,45], par exemple x = 17,5 m et y = 29 m : 2×17,5 + 29 − 4 = 60 m, aire = 507,5 m², longueur < 30 m. On satisfait toutes les contraintes avec de la marge, ce qu'aucune des deux propositions initiales ne faisait. La leçon de méthode : dans un problème d'optimisation sous contraintes, on identifie les contraintes avant de chercher l'optimum, et on vérifie la compatibilité de l'optimum avec chacune d'elles.