Saut de rampe : la vitesse qui franchit le muret ne permet plus la réception
Le club scientifique d'un lycée de Niamey prépare une démonstration de mécanique pour la journée portes ouvertes. Une moto radiocommandée doit quitter un tremplin incliné de 30° par rapport à l'horizontale, à la vitesse v0, puis se réceptionner sur une plateforme horizontale située 30 m plus loin et 5 m plus bas que le sommet du tremplin. On prend g = 10 m/s² et on néglige les frottements de l'air. À 10 m du point de départ, un muret de protection haut de 3,5 m au-dessus du tremplin barre la trajectoire : la moto doit passer au-dessus. Un élève du club a calculé v0 = 16,4 m/s pour atteindre la plateforme et conclut : « le muret ne pose aucun problème, la trajectoire monte au départ ». Le professeur demande de vérifier ce calcul et cette conclusion avant de valider le protocole.
1. Établir l'équation de la trajectoire dans le repère d'origine le sommet du tremplin, puis calculer la vitesse v0 nécessaire pour atteindre la plateforme de réception (x = 30 m, y = −5 m).
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Équations horaires. Avec l'axe Ox horizontal et Oy vertical ascendant :
x = v0 cos30 · t et y = v0 sin30 · t − ½ g t².
On élimine t = x/(v0 cos30) :
y = x tan30 − (g x²)/(2 v0² cos²30).
Avec tan30 = 0,577, cos²30 = 0,75 et g = 10 :
y = 0,577x − 6,667 x²/v0².
Condition de réception. En x = 30 m, y = −5 m :
−5 = 17,32 − 6000/v0², donc 6000/v0² = 22,32, v0² = 268,8 et v0 ≈ 16,4 m/s (≈ 59 km/h).
Contrôle de vraisemblance. Durée du vol : t = 30/(16,4×0,866) ≈ 2,11 s ; hauteur alors : 8,2×2,11 − 5×(2,11)² ≈ 17,3 − 22,3 = −5,0 m. Le calcul est cohérent, mais il ne dit rien du muret : c'est une condition nécessaire, pas suffisante.
2. Avec v0 = 16,4 m/s, la moto passe-t-elle au-dessus du muret dont le sommet est à y = 3,5 m pour x = 10 m ? Sinon, quelle vitesse minimale faudrait-il pour le franchir ?
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Altitude au droit du muret.
y(10) = 0,577×10 − 6,667×100/268,8 = 5,774 − 2,480 = 3,29 m.
Or le sommet du muret est à 3,5 m : la moto passe 21 cm trop bas. La conclusion de l'élève est donc fausse ; l'affirmation « la trajectoire monte au départ » est vraie mais insuffisante, car le muret est situé après le sommet de la trajectoire.
Confirmation par la flèche. Hauteur maximale : y_max = v0² sin²30/(2g) = 268,8×0,25/20 = 3,36 m. La trajectoire ne dépasse jamais 3,36 m : aucun point de la trajectoire n'atteint 3,5 m, le franchissement est impossible à cette vitesse.
Vitesse minimale. Il faut y(10) ≥ 3,5 :
0,577×10 − 666,7/v0² ≥ 3,5 ⟺ 666,7/v0² ≤ 2,274 ⟺ v0² ≥ 293,2 ⟺ v0 ≥ 17,1 m/s.
À cette vitesse, la flèche vaut 293,2×0,25/20 = 3,66 m, ce qui est cohérent avec un passage juste au-dessus du muret.
3. Avec v0 = 17,1 m/s, la réception sur la plateforme est-elle encore assurée ? Concluez sur le protocole et proposez un réglage expérimental.
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Nouvelle portée. On cherche x tel que y = −5 :
0,577x − 6,667x²/293,2 = −5 ⟺ 0,02274x² − 0,577x − 5 = 0.
En multipliant par 43,98 : x² − 25,39x − 219,9 = 0. Δ = 644,6 + 879,6 = 1524,2, √Δ = 39,04, d'où x = (25,39 + 39,04)/2 ≈ 32,2 m (la racine négative, ≈ −7 m, est rejetée).
Interprétation. La moto retombe 2,2 m après le bord de la plateforme : elle rate la réception. Les deux contraintes sont donc incompatibles à 30° : la vitesse qui protège le pilote du muret le jette hors de la piste.
Conséquences pratiques. Il faut agir sur la géométrie, pas seulement sur la vitesse : reculer la plateforme d'au moins 2,5 m (ou l'allonger), abaisser le muret, ou augmenter l'angle du tremplin pour rendre la trajectoire plus « verticale » au passage du muret. Toute solution doit être revérifiée par le calcul des deux conditions (franchissement et réception) avec une marge de sécurité, car 21 cm d'écart sur un muret correspondent à une erreur de mesure tout à fait banale en salle de classe. On peut aussi rappeler que la vitesse d'impact vaut √(v0² + 2gh) = √(293,2 + 100) ≈ 19,8 m/s, ce qui n'est pas anodin pour la structure de la moto.