Choisir des packs de révision avec un budget et des encadrants limités
Le club scientifique d’un lycée de Niamey dispose de 90 000 FCFA pour organiser des packs de révision. Le pack A coûte 6 000 FCFA, mobilise 2 heures d’encadrement et permet de servir 5 élèves. Le pack B coûte 9 000 FCFA, mobilise 1 heure d’encadrement et permet de servir 7 élèves. Le club peut mobiliser au plus 24 heures d’encadrement et acheter au plus 14 packs au total. Les responsables veulent maximiser le nombre d’élèves servis. Ils hésitent entre commander surtout des packs A, réputés plus collectifs, ou des packs B, plus économes en encadrement. Un trésorier propose d’arrondir la solution du programme linéaire continu, tandis qu’une animatrice exige une solution entière réalisable. Le club ne peut pas acheter une fraction de pack et ne peut pas dépasser le budget. Avant la réunion, le bureau demande une note chiffrée qui distingue la solution mathématique, la solution réalisable et le compromis à retenir.
1. Formuler le programme linéaire correspondant, en précisant les variables, les contraintes et l’objectif.
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On pose x = nombre de packs A et y = nombre de packs B. Budget : 6 000x + 9 000y ≤ 90 000, soit en divisant par 3 000 : 2x + 3y ≤ 30. Encadrement : 2x + y ≤ 24. Nombre total de packs : x + y ≤ 14. Les quantités sont entières et positives : x, y ∈ ℕ. L’objectif est de maximiser le nombre d’élèves servis : Max Z = 5x + 7y. La contrainte de divisibilité est essentielle : x = 10,5 n’a pas de sens pour des packs. Le programme linéaire continu donne une borne supérieure, pas directement une commande réalisable.
2. Déterminer la solution continue, puis la meilleure solution entière réalisable. Comparer les deux et conclure sur la commande à passer.
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Les sommets utiles sont (0 ; 10), (12 ; 0) et l’intersection de 2x + 3y = 30 et 2x + y = 24. Cette intersection donne y = 3 et x = 10,5, avec Z = 5×10,5 + 7×3 = 73,5 élèves. En nombres entiers, on teste les voisins : (10 ; 3) donne 71 élèves, (9 ; 4) donne 73 élèves, (11 ; 2) donne 69 élèves. Le plan (9 ; 4) respecte tout : budget 2×9 + 3×4 = 30, encadrement 2×9 + 4 = 22, total 13 packs. La commande à retenir est donc 9 packs A et 4 packs B, soit 73 élèves. La solution continue 73,5 n’est pas réalisable ; l’arrondi naïf à (10 ; 3) serait moins bon. Il faut donc raisonner sur les entiers voisins et vérifier chaque contrainte.
3. Un donateur propose une heure d’encadrement supplémentaire pour 2 000 FCFA. Faut-il accepter ? Justifier en comparant l’effet continu et l’effet entier.
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Avec une heure de plus, la contrainte devient 2x + y ≤ 25. Le nouveau sommet continu vérifie 2x + 3y = 30 et 2x + y = 25, donc y = 2,5 et x = 11,25 ; Z = 73,75. L’heure vaudrait seulement 0,25 élève en continu. En entier, aucun plan ne fait mieux que 73 : (9 ; 4) reste optimal, (10 ; 3) donne 71 et (11 ; 2) donne 69. Payer 2 000 FCFA pour ne servir aucun élève supplémentaire n’est donc pas rationnel du seul point de vue de l’objectif. Il faudrait accepter si l’heure est gratuite ou si elle améliore la qualité de l’encadrement. Cette comparaison montre la limite d’un raisonnement purement continu.