Mathématiques – série D
L'épreuve de mathématiques de la série D évalue l'analyse, les suites, les probabilités, les nombres complexes et la géométrie. Les exercices exigent des justifications rédigées : une réponse exacte sans raisonnement perd des points.
Analyse et fonctions
Limites, continuité, théorème des valeurs intermédiaires, dérivabilité, tableau de variation, asymptotes. Primitives, intégration par parties, calcul d'aire. Équations différentielles du type y' = ay + b, dont les solutions s'écrivent f(x) = C e^{ax} − b/a.
Suites et probabilités
Suites arithmétiques et géométriques, raisonnement par récurrence, convergence. Probabilités conditionnelles, indépendance, arbres pondérés, espérance d'une variable aléatoire.
Nombres complexes et géométrie
Forme algébrique, conjugué, module, argument, formes trigonométrique et exponentielle ; interprétation géométrique des affixes ; produit scalaire et orthogonalité.
Exemple travaillé
Résoudre z² − 2z + 5 = 0 dans ℂ. Le discriminant vaut Δ = 4 − 20 = −16 = (4i)², donc les solutions sont z = (2 ± 4i)/2, soit z₁ = 1 + 2i et z₂ = 1 − 2i. Les coefficients étant réels, les deux racines sont bien conjuguées. On peut préciser le module : |z₁| = √5, et l'argument arg z₁ = arctan 2, ce qui donne la forme exponentielle √5 e^{i arctan 2}.
Pièges à éviter
Ne pas préciser le domaine de définition avant de calculer une limite ; invoquer le TVI sans avoir justifié la continuité ; confondre primitive et dérivée ; oublier la constante d'intégration ; terminer par un calcul sans phrase de conclusion.