La citerne de la coopérative maraîchère
Une coopérative maraîchère de la périphérie de Niamey dispose d'un budget total de 250 000 FCFA pour installer une citerne de stockage d'eau. Le local technique a une surface au sol de 3,0 m² et une hauteur sous plafond de 2,10 m. Deux modèles sont proposés. Modèle A : citerne cylindrique de diamètre 1,60 m et de hauteur 2,00 m ; prix 180 000 FCFA, livraison 15 000 FCFA. Modèle B : citerne parallélépipédique de longueur 2,20 m, largeur 1,20 m et hauteur 1,50 m ; prix 210 000 FCFA, livraison incluse. Pour des raisons de sécurité, on ne remplit une citerne qu'à 90 % de son volume géométrique. La coopérative consomme en moyenne 1,2 m³ d'eau par semaine et souhaite disposer d'au moins trois semaines d'autonomie. Le vendeur affirme que le modèle A est le plus rentable parce qu'il coûte moins cher à l'achat. Le président de la coopérative hésite : il craint que le modèle A ne soit trop haut ou trop étroit pour le local, et se demande si l'économie réalisée est réelle.
1. Calcule le volume géométrique puis le volume utile de chaque modèle. Arrondis au centième de mètre cube et détaille les formules utilisées.
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Modèle A (cylindre) :
- Rayon : r = 1,60 ÷ 2 = 0,80 m.
- Volume géométrique : V = π × r² × h = π × 0,80² × 2,00 = 1,28π ≈ 4,02 m³.
- Volume utile : 4,02 × 0,90 ≈ 3,62 m³.
Modèle B (parallélépipède) :
- Volume géométrique : V = L × l × h = 2,20 × 1,20 × 1,50 = 3,96 m³.
- Volume utile : 3,96 × 0,90 ≈ 3,56 m³.
Les deux volumes sont proches, mais le modèle A offre un volume utile légèrement supérieur. Il ne faut pas comparer les prix seuls : la décision dépend du volume réellement stockable et des contraintes du local.
2. Vérifie les contraintes du local et l'autonomie de trois semaines. L'affirmation du vendeur est-elle correcte ? Justifie en comparant le coût par mètre cube utile.
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Contraintes du local :
- Modèle A : hauteur 2,00 m < 2,10 m ; surface au sol π × 0,80² ≈ 2,01 m² < 3,0 m². Il passe.
- Modèle B : hauteur 1,50 m < 2,10 m ; surface au sol 2,20 × 1,20 = 2,64 m² < 3,0 m². Il passe aussi.
Autonomie :
- Modèle A : 3,62 ÷ 1,2 ≈ 3,02 semaines, soit juste plus de trois semaines.
- Modèle B : 3,56 ÷ 1,2 ≈ 2,97 semaines, soit un peu moins de trois semaines.
Coût total et coût par m³ utile :
- Modèle A : 180 000 + 15 000 = 195 000 FCFA ; 195 000 ÷ 3,62 ≈ 53 870 FCFA/m³.
- Modèle B : 210 000 FCFA ; 210 000 ÷ 3,56 ≈ 58 990 FCFA/m³.
L'affirmation du vendeur est correcte sur le fond : le modèle A est moins cher à l'achat, coûte moins par m³ utile et respecte l'autonomie de trois semaines, alors que le modèle B passe sous la barre des trois semaines. Il faut toutefois nuancer : l'écart d'autonomie est faible et le modèle A reste haut, donc sa mise en place doit être vérifiée.
3. Le président propose d'acheter le modèle B et de le remplir à 100 % pour ne pas manquer d'eau. Explique les risques de ce choix et propose une alternative qui respecte les contraintes.
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Remplir le modèle B à 100 % donnerait 3,96 m³, soit 3,96 ÷ 1,2 = 3,3 semaines d'autonomie. Sur le papier, l'objectif est atteint, mais la solution est risquée :
- elle supprime la réserve de sécurité de 10 %, prévue pour éviter débordements et pertes lors du remplissage ;
- une citerne pleine à ras bord peut déborder, surtout si l'on pompe ou si la température fait varier le niveau ;
- elle peut fatiguer la structure et favoriser la stagnation d'eau sur le couvercle ;
- elle ne règle pas le problème de fond si la consommation augmente.
Alternative raisonnable : garder le volume utile de 3,56 m³ et réduire légèrement la consommation hebdomadaire, par exemple en couvrant le sol pour limiter l'évaporation et en réparant les fuites. Il suffit de passer de 1,2 à environ 1,19 m³ par semaine pour atteindre trois semaines. Sinon, choisir le modèle A, qui respecte déjà l'autonomie sans remplissage dangereux.