Le potager du club de mathématiques : grillage, budget et seuil réglementaire
Au prytanée, le club de mathématiques veut aménager un potager pédagogique derrière le réfectoire. Le terrain sera rectangulaire et s'appuiera sur le mur du réfectoire, long de 60 m et déjà construit : ce côté ne coûte rien. Le commandant d'armes autorise la pose de grillage sur les trois autres côtés, dans la limite de 96 m. Le trésorier du club ne dispose que de 130 000 FCFA, et le grillage coûte 1 500 FCFA le mètre ; les piquets sont fournis par l'intendance. Le règlement intérieur précise qu'un potager n'est reconnu comme « projet d'établissement » que si sa surface atteint 1 000 m². Trois élèves proposent chacun un plan : le premier un carré de 24 m de côté, le second un rectangle de 24 m sur 48 m, le troisième un rectangle de 30 m sur 36 m. Le professeur exige de trancher par le calcul, pas à l'œil, et de vérifier si le budget permet réellement le plan retenu.
1. On note x la longueur des deux côtés perpendiculaires au mur et y celle du côté parallèle au mur. Exprimer l'aire A en fonction de x pour une longueur totale de grillage L, déterminer les dimensions qui maximisent A, puis appliquer le résultat à L = 96 m et comparer les trois plans proposés.
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Le grillage couvre les trois côtés libres : 2x + y = L, donc y = L − 2x, avec 0 < x < L/2 (il faut y > 0 et deux côtés égaux).
A(x) = x·y = x(L − 2x) = −2x² + Lx.
C'est un trinôme du second degré de coefficient dominant négatif : son maximum est atteint au sommet, x = −b/(2a) = L/(2×2) = L/4. Alors y = L − 2(L/4) = L/2 et A = (L/4)(L/2) = L²/8.
Pour L = 96 m : x = 24 m, y = 48 m, A = 1 152 m² (et non 24 × 24, erreur fréquente : le carré n'est pas le côté « 24 sur 24 »).
Comparaison des trois plans :
- carré 24 × 24 : 576 m² ;
- rectangle 24 × 48 : 1 152 m² ;
- rectangle 30 × 36 : 1 080 m².
Le plan 24 × 48 est bien l'optimum : il utilise exactement 24 + 24 + 48 = 96 m de grillage et dépasse largement le seuil de 1 000 m². Le plan 30 × 36 est correct mais sous-optimal ; le carré est le plus mauvais. On vérifie enfin que le côté de 48 m s'appuie bien sur un mur de 60 m : c'est compatible.
2. Le trésorier ne peut acheter qu'un nombre entier de mètres de grillage. Combien de mètres peut-il financer exactement ? Quelle aire maximale obtient-il alors ? Le seuil de 1 000 m² est-il atteint, et que faudrait-il de plus ?
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Budget : 130 000 ÷ 1 500 = 86,666… Le trésorier ne peut payer que 86 m entiers (86 × 1 500 = 129 000 FCFA ; le mètre suivant coûterait 1 500 FCFA, il ne reste que 1 000 FCFA).
Avec L = 86 m, l'aire maximale vaut L²/8 = 7 396 ÷ 8 = 924,5 m², obtenue pour x = 21,5 m et y = 43 m. Le seuil réglementaire de 1 000 m² n'est donc pas atteint : le projet ne peut pas être labellisé en l'état.
Recherche du seuil : L²/8 ≥ 1 000 ⟺ L² ≥ 8 000 ⟺ L ≥ √8 000 ≈ 89,44 m. Comme il faut un nombre entier de mètres, il faut L = 90 m, soit 90 × 1 500 = 135 000 FCFA. Il manque donc 5 000 FCFA (ou 4 m de grillage) pour que le règlement soit respecté.
Conclusion à porter au compte rendu : le plan 24 × 48 est bon mathématiquement mais inapplicable budgétairement ; deux issues seulement - trouver 5 000 FCFA supplémentaires, ou renégocier le seuil auprès du proviseur. Acheter 86 m et présenter 924,5 m² comme conforme serait une erreur de raisonnement, pas une approximation.
3. L'élève qui défend le carré affirme : « un carré est toujours la forme la plus économique, donc avec 96 m de grillage, le carré de 24 m de côté est le meilleur choix ». Identifier précisément l'erreur de raisonnement et expliquer en quoi le mur change la conclusion.
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L'élève applique un résultat vrai dans un autre cadre : à périmètre total fixé, c'est le carré qui maximise l'aire d'un rectangle (raisonnement isopérimétrique). Mais ici le périmètre n'est pas fixé à 96 m : un côté est gratuit. La contrainte réelle est 2x + y = 96, pas 4x = 96.
Preuve par le calcul : un carré de 24 m de côté appuyé sur le mur ne consomme que 24 + 24 + 24 = 72 m de grillage, et laisse 24 m inutilisés. Si l'on applique le raisonnement « carré » au périmètre complet, on trouve bien un carré de côté 96/4 = 24 m et une aire de 576 m² - résultat qui correspond au cas où les quatre côtés seraient à clôturer, ce qui n'est pas la situation.
La bonne conclusion est que la forme optimale est un rectangle dont le côté parallèle au mur vaut le double de la profondeur (y = 2x), soit 24 m sur 48 m ici. L'erreur est donc double : mauvais modèle (contrainte mal identifiée) et non-vérification numérique (576 m² contre 1 152 m², l'écart est du simple au double et se voit immédiatement).