Der widersprüchliche Rabatt im Mathematik-Kontext
Ein Textilbetrieb verkauft Jacken zum Listenpreis von 80 Euro. Der Geschäftsführer bietet dem Stammkunden zwei Varianten an: Variante A gewährt 25 Prozent Rabatt auf den Listenpreis, danach werden auf den reduzierten Preis nochmals 10 Prozent „Treuerabatt“ gegeben. Variante B gewährt sofort 35 Prozent Rabatt auf den Listenpreis. Der Kunde behauptet, beide Varianten seien gleich teuer, weil 25 plus 10 ebenfalls 35 ergebe. Die Buchhaltung meldet zudem, dass bei Variante A nach beiden Abzügen noch 4,50 Euro Mehrwertsteuer pro Jacke anfallen, bei Variante B hingegen 5,20 Euro. Der Steuersatz beträgt einheitlich 20 Prozent, und die genannten Steuerbeträge beziehen sich auf den jeweiligen Endpreis.
1. Berechne beide Endpreise und widerlege die Gleichsetzung des Kunden mit einem tragfähigen Argument.
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Variante A: 80 Euro minus 25 Prozent ergibt 60 Euro. Auf diese 60 Euro kommen 10 Prozent Treuerabatt, also 6 Euro, sodass 54 Euro bleiben. Variante B: 35 Prozent von 80 Euro sind 28 Euro, der Endpreis beträgt 52 Euro. Die beiden Varianten sind also nicht gleich teuer; Variante A ist um 2 Euro teurer. Der Denkfehler liegt im Bezugssystem: Prozentangaben sind keine addierbaren Größen, wenn sie sich auf unterschiedliche Grundwerte beziehen. Die 10 Prozent in Variante A werden auf 60 Euro berechnet, nicht auf 80 Euro. Rechnerisch entspricht der Doppelrabatt dem Faktor 0,75 mal 0,90, also 0,675, was einem Gesamtrabatt von 32,5 Prozent entspricht – nicht 35 Prozent. Die richtige Argumentation lautet daher: Rabatte werden multiplikativ verkettet, nicht additiv. Wer 25 und 10 addiert, unterstellt fälschlich denselben Grundwert für beide Abzüge. Für das Kundengespräch empfiehlt sich, den Rechenweg mit Zwischensumme zu zeigen, weil die Zahl 60 Euro den Bezugswechsel sichtbar macht.
2. Prüfe mit den Steuerbeträgen, ob die Buchhaltung die richtigen Endpreise zugrunde gelegt hat.
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Bei einem Steuersatz von 20 Prozent gilt: Steuerbetrag gleich Endpreis mal 0,20. Aus 4,50 Euro Steuer folgt ein Endpreis von 4,50 geteilt durch 0,20, also 22,50 Euro. Aus 5,20 Euro folgt 5,20 geteilt durch 0,20, also 26 Euro. Beide Werte passen offensichtlich nicht zu den berechneten Endpreisen von 54 und 52 Euro. Das ist kein Rechenfehler in der Rabattlogik, sondern ein Hinweis darauf, dass die gemeldeten Steuerbeträge nicht zum beschriebenen Sachverhalt gehören oder dass der Steuersatz falsch angenommen wurde. Prüft man umgekehrt, welche Steuer bei 20 Prozent auf 54 Euro anfiele, ergibt sich 10,80 Euro, bei 52 Euro sind es 10,40 Euro – also fast das Doppelte der gemeldeten Werte. Die Differenz zwischen den beiden korrekt berechneten Steuerbeträgen beträgt 0,40 Euro und entspricht genau 20 Prozent der Preisdifferenz von 2 Euro. Dieser Zusammenhang ist ein gutes Plausibilitätskriterium: Bei einheitlichem Steuersatz muss die Steuerdifferenz stets im selben Verhältnis zur Preisdifferenz stehen wie der Steuersatz selbst. Die Buchhaltung sollte daher die Datengrundlage prüfen, statt die Rabattrechnung zu ändern.