Een steekproef in de bovenbouw: gemiddelde, spreiding en een misleidende grafiek
Op een school met 120 examenleerlingen worden de cijfers voor het schoolexamen wiskunde onderzocht. Van 30 leerlingen is het cijfer bekend: het gemiddelde is 6,4 en de standaardafwijking 1,2. Een docent presenteert een staafdiagram waarin de verticale as bij 6,0 begint in plaats van bij 0. Daardoor lijken de verschillen tussen klassen groot. Een ouder klaagt: 'Klas B scoort veel lager dan klas A.' In werkelijkheid is het verschil tussen de klassengemiddelden 0,3 punt, terwijl de standaardafwijking binnen de klassen 1,2 is. De school wil een uitspraak doen over alle 120 leerlingen.
1. Beoordeel de klacht van de ouder met statistische argumenten. Betrek hierbij de grafiek en het onderscheid tussen klassengemiddelden en spreiding binnen de klassen.
Read the worked answer
De grafiek is misleidend door de afgekapte as. Als de verticale as bij 6,0 begint, wordt een verschil van 0,3 punt uitvergroot tot een groot visueel verschil. De eerste stap is dus: kijk naar de werkelijke waarden en naar de as.
Statistisch: een verschil van 0,3 punt tussen klassengemiddelden is klein ten opzichte van de standaardafwijking van 1,2 binnen de klassen. Dat betekent dat individuele leerlingen in klas B heel goed kunnen scoren terwijl het klassengemiddelde iets lager ligt. Het gemiddelde beschrijft de groep, niet de leerling.
Bovendien is de steekproef klein (30 leerlingen) en is niet vermeld of de klassen even groot zijn en of de steekproef aselect is. Zonder die informatie is de uitspraak 'veel lager' niet te onderbouwen. De juiste conclusie is: er is een klein verschil in gemiddelde, de spreiding is veel groter, en de grafiek overdrijft het verschil.
2. De school wil het gemiddelde van alle 120 leerlingen schatten op basis van de 30 bekende cijfers. Welke aanname is nodig, en welke fout kan ontstaan als die aanname niet klopt?
Read the worked answer
De schatting van 6,4 voor alle 120 leerlingen is alleen verdedigbaar als de 30 bekende leerlingen representatief zijn voor de hele groep. Dat vraagt een aselecte of ten minste niet-vertekende selectie.
Als de 30 bijvoorbeeld alleen leerlingen zijn die hun cijfer vrijwillig deelden, of alleen één klas, dan is de steekproef niet representatief. Leerlingen die goed scoren delen hun cijfer misschien eerder, of juist niet. Dan kan het geschatte gemiddelde systematisch te hoog of te laag uitvallen. Dat is een selectievertekening, geen toevalsfout die je met een formule wegpoetst.
Praktisch: de school moet nagaan hoe de 30 zijn gekozen en of ze over alle klassen zijn verdeeld. Is dat niet zo, dan moet de schatting als onbetrouwbaar worden gepresenteerd, of moet het cijfer van meer leerlingen worden verzameld.
3. Stel dat de school de 30 cijfers als aselecte steekproef beschouwt. Leg uit wat de standaardfout van het gemiddelde is en waarom die relevant is voor de uitspraak over alle 120 leerlingen.
Read the worked answer
De standaardfout van het gemiddelde is s/√n, met s = 1,2 en n = 30. Dat geeft 1,2 / √30 ≈ 1,2 / 5,48 ≈ 0,22 punt.
De standaardfout zegt hoe sterk het steekproefgemiddelde van steekproef tot steekproef zou variëren. Een ruwe vuistregel is dat het werkelijke gemiddelde ongeveer binnen twee standaardfouten van 6,4 ligt, dus ruwweg tussen 6,0 en 6,8. Dat is een brede marge.
Relevantie: een verschil van 0,3 punt tussen klassen is van dezelfde orde als de onzekerheid van het gemiddelde. Je kunt dus niet met stelligheid zeggen dat klas A echt beter is dan klas B op basis van deze gegevens. De onzekerheid moet in de uitspraak worden meegenomen, en de misleidende grafiek mag die onzekerheid niet verbergen.