Chute d'un colis humanitaire et portée du tir
Lors d'un largage humanitaire simulé au-dessus d'une plaine du Sahel, un avion vole horizontalement à 120 m d'altitude et à la vitesse constante de 50 m/s. Un colis de 20 kg est libéré. On néglige la résistance de l'air et on prend g = 10 m/s². Un second exercice concerne un lanceur de balles de tennis qui tire à 45° au-dessus de l'horizontale avec une vitesse initiale de 20 m/s depuis le sol. Les élèves doivent déterminer où placer la cible pour le colis, puis comparer avec la portée du tir. Un élève affirme que « plus le colis est lourd, plus il tombe vite ». Le professeur demande de trancher par le calcul et de discuter la validité du modèle.
1. Déterminer la durée de chute du colis, la distance horizontale parcourue et la vitesse à l'impact. Où faut-il placer la cible au sol ?
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La chute verticale est indépendante de la vitesse horizontale. On a z = h − ½gt², soit 0 = 120 − 5t², donc t² = 24 et t ≈ 4,9 s.
Pendant ce temps, la vitesse horizontale reste 50 m/s (aucune force horizontale). La distance horizontale est x = 50 × 4,9 ≈ 245 m.
Vitesse verticale à l'impact : v_z = g t = 10 × 4,9 = 49 m/s. La vitesse horizontale reste 50 m/s. La norme vaut donc √(50² + 49²) ≈ √(2500 + 2401) ≈ 70 m/s, inclinée d'environ 44° sous l'horizontale.
La cible doit être placée à environ 245 m devant le point de largage, mesuré horizontalement. La masse n'intervient pas : l'affirmation de l'élève est fausse dans le modèle sans frottement.
2. Calculer la portée du tir à 45° et comparer. Que faudrait-il changer pour que les deux situations aient la même portée ?
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Pour un tir depuis le sol à l'angle θ et vitesse v₀ : portée R = v₀² sin(2θ)/g.
Ici R = 20² × sin(90°)/10 = 400/10 = 40 m.
La portée du tir (40 m) est très inférieure à la distance de chute du colis (245 m). Les deux situations ne sont pas comparables directement : le colis part avec une vitesse horizontale de 50 m/s et une hauteur initiale de 120 m.
Pour obtenir une portée de 245 m avec le lanceur à 45°, il faudrait v₀² = R g = 2450, soit v₀ ≈ 49,5 m/s, soit environ 2,5 fois la vitesse actuelle. Autre voie : augmenter l'angle ou la hauteur de lancement, mais à 45° depuis le sol c'est la vitesse qui gouverne.
3. Discuter la validité du modèle « sans résistance de l'air » pour un colis de 20 kg largué à 120 m. Dans quel sens l'écart irait-il ?
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La résistance de l'air croît comme le carré de la vitesse et dépend de la surface frontale et de la forme. Pour un colis de 20 kg, le rapport poids/force de traînée est favorable : la vitesse terminale serait probablement de l'ordre de plusieurs dizaines de m/s, donc pas atteinte immédiatement.
Conséquence : la vitesse verticale réelle serait légèrement inférieure à 49 m/s et la durée de chute un peu plus longue que 4,9 s. Le colis resterait plus longtemps en l'air et parcourrait donc une distance horizontale plus grande que 245 m, tout en subissant un ralentissement horizontal progressif.
Le modèle sans frottement donne donc une borne basse de la distance. Pour un largage réel, il faudrait viser un peu au-delà de 245 m ou corriger par un modèle avec traînée. L'affirmation selon laquelle la masse accélère la chute reste fausse : à forme identique, une masse plus grande réduit seulement l'effet relatif de la traînée.