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On dérive terme à terme : f'(x) = 6x − 5. En remplaçant x par 2, on obtient f'(2) = 12 − 5 = 7. La dérivée mesure la pente de la tangente au point considéré.
Pour une suite arithmétique, uₙ = u₀ + n·r. Ici u₁₀ = 4 + 10×3 = 34. Chaque terme augmente de 3 par rapport au précédent.
On regroupe les termes en x d'un côté : 2x − 3x = 1 + 7, donc −x = 8 et x = −8. La vérification donne 2(−8) − 7 = −23 et 3(−8) + 1 = −23, ce qui confirme l'égalité.
L'angle π/3 correspond à 60 degrés. Dans le triangle équilatéral coupé en deux, le cosinus de 60 degrés vaut le côté adjacent sur l'hypoténuse, soit 1/2. C'est une valeur remarquable à connaître.
Le module se calcule par |z| = √(a² + b²) où a et b sont les parties réelle et imaginaire. Ici |z| = √(9 + 16) = √25 = 5. Le module représente la distance à l'origine dans le plan complexe.
On applique l'identité remarquable (a + b)² = a² + 2ab + b². Avec a = x et b = 3, on obtient x² + 6x + 9. Le double produit est indispensable dans le développement.
Les issues favorables sont 2, 4 et 6, soit trois cas sur six issues équiprobables. La probabilité vaut donc 3/6 = 1/2. On simplifie toujours la fraction obtenue.
La fonction logarithme népérien s'annule en x = 1 car ln(1) = 0. De façon générale, ln(x) = 0 équivaut à x = e⁰ = 1. Le domaine de définition exige x strictement positif.
Au voisinage de l'infini, on divise numérateur et dénominateur par x². On obtient (2 + 3/x)/(1 − 1/x²), dont la limite est 2/1 = 2. Les termes en 1/x tendent vers zéro.
On divise numérateur et dénominateur par n : uₙ = (3 + 1/n)/(1 + 2/n). Les termes 1/n et 2/n tendent vers zéro, donc la limite vaut 3/1 = 3. C'est le rapport des coefficients dominants.
Une primitive de 3x² est x³ et une primitive de 2x est x². Donc F(x) = x³ + x² + C. La condition F(0) = 5 impose C = 5, d'où F(x) = x³ + x² + 5.
On utilise la formule de distance AB = √((x_B − x_A)² + (y_B − y_A)²). Ici AB = √(3² + 4²) = √25 = 5. C'est un triplet pythagoricien classique.
Le discriminant vaut Δ = b² − 4ac avec a = 1, b = −5 et c = 6. On obtient Δ = 25 − 24 = 1. Un discriminant positif strict indique deux racines réelles distinctes.
La dérivée est f'(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1). Elle est positive à l'extérieur des racines −1 et 1, donc f croît sur ]−∞, −1[ et sur ]1, +∞[. Entre les racines, la dérivée est négative et f décroît.
La somme des n premiers entiers vaut n(n + 1)/2. Pour n = 50, on obtient 50 × 51 / 2 = 1275. C'est la formule classique de la somme des termes d'une suite arithmétique.
On développe : 6 − 4i + 3i − 2i². Comme i² = −1, le terme −2i² vaut +2. On obtient donc 6 + 2 + (−4i + 3i) = 8 − i.
Le premier tirage donne une rouge avec probabilité 3/5, puis il reste 2 rouges sur 4 boules. La probabilité vaut donc (3/5) × (2/4) = 6/20 = 3/10. Le tirage sans remise modifie les probabilités du second tirage.
On écrit 81 = 3⁴, l'équation devient 3^(2x) = 3⁴. Par injectivité de la fonction exponentielle, 2x = 4, donc x = 2. On peut vérifier que 3⁴ = 81.
On applique la formule de dérivation d'une composée : (e^u)' = u'·e^u. Ici u(x) = −x², donc u'(x) = −2x. La dérivée est donc f'(x) = −2x·e^(−x²).
La partie réelle est négative et la partie imaginaire positive, donc z est dans le deuxième quadrant. On calcule tan θ = √3/(−1), ce qui donne un angle de référence π/3, d'où θ = π − π/3 = 2π/3.
Une primitive de 2x + 1 est x² + x. On évalue entre 0 et 1 : (1 + 1) − (0 + 0) = 2. L'intégrale mesure l'aire sous la courbe sur l'intervalle donné.
Si la suite converge vers L, la relation de récurrence donne à la limite L = (L + 2)/2. On résout : 2L = L + 2, donc L = 2. C'est le point fixe de la relation de récurrence.
La dérivée première par la règle du produit est f'(x) = e^x + x·e^x = (x + 1)e^x. En dérivant encore, on obtient f''(x) = e^x + (x + 1)e^x = (x + 2)e^x.
On met sous forme canonique : (x − 2)² − 4 + (y + 3)² − 9 − 3 = 0, soit (x − 2)² + (y + 3)² = 16. Le centre est donc (2, −3) et le rayon vaut √16 = 4.
On factorise le numérateur : x² − 1 = (x − 1)(x + 1). Pour x différent de 1, f(x) = x + 1, dont la limite en 1 vaut 2. Il s'agit d'une indétermination levée par factorisation.
On reconnaît une différence de deux carrés : a² − b² = (a − b)(a + b). Ici a = x et b = 3, donc x² − 9 = (x − 3)(x + 3).
Sur le cercle trigonométrique, l'angle π/3 correspond à 60°. Le cosinus de cet angle vaut 1/2, valeur à connaître parmi les angles remarquables.
Il s'agit d'un arrangement de 2 éléments parmi 30, car l'ordre compte (délégué et sous-délégué sont distincts). Le nombre est 30 × 29 = 870.
La fonction logarithme népérien a pour dérivée la fonction inverse. Pour tout x > 0, on a (ln x)′ = 1/x.
On ajoute 5 aux deux membres : 2x = 12. On divise ensuite par 2 : x = 6. La solution est donc 6.
La somme des n premiers termes d'une suite arithmétique est S = n(u₁ + uₙ)/2. Ici u₁ = 2 et u₁₀ = 2 + 9×3 = 29, donc S = 10(2 + 29)/2 = 155.
La dérivée f′(x) = 2x vaut 4 en x = 2. La tangente a pour équation y = f(2) + f′(2)(x − 2) = 4 + 4(x − 2) = 4x − 4.
Le module de z est |z| = √(1² + 1²) = √2 et un argument est π/4 car cos(π/4) = sin(π/4) = √2/2. Donc z = √2 e^(iπ/4).
On applique la formule (u/v)′ = (u′v − uv′)/v² avec u = 3x + 1 et v = x − 2. On obtient (3(x−2) − (3x+1))/(x−2)² = (−7)/(x−2)².
Le trinôme (x − 1)(x + 3) a pour racines −3 et 1 et son coefficient dominant est positif. Il est donc négatif ou nul entre les racines, soit sur [−3 ; 1].
La dérivée est f′(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1). Pour x dans ]−1 ; 1[, x² < 1 donc 3x² − 3 < 0 : la dérivée est strictement négative.
Une primitive de 1/x sur ]0 ; +∞[ est ln x. Donc ∫₁² (1/x) dx = [ln x]₁² = ln 2 − ln 1 = ln 2.
On cherche un point fixe L tel que L = 3L − 4, soit L = 2. La suite vₙ = uₙ − 2 est géométrique de raison 3 avec v₀ = 0, donc uₙ = 2 + 0×3ⁿ = 2. Or u₁ = 2, u₂ = 2, etc. La suite est constante égale à 2, ce qui s'écrit aussi uₙ = 3ⁿ + 1 ? Non, vérifions : u₀ = 2 et 3⁰ + 1 = 2 ; u₁ = 2 et 3¹ + 1 = 4, donc l'expression 3ⁿ + 1 ne convient pas. Reprenons : u₀ = 2, u₁ = 3×2 − 4 = 2, u₂ = 3×2 − 4 = 2. La suite est constante égale à 2. L'expression explicite est donc uₙ = 2 pour tout n. Parmi les options, aucune ne donne 2 pour tout n. Il y a une erreur dans l'énoncé ou les options. La bonne réponse serait uₙ = 2.
L'égalité |z − 1| = |z + i| signifie que la distance de M au point A(1) est égale à la distance de M au point B(−i). L'ensemble est la médiatrice de [AB]. Le milieu de [AB] est (1 − i)/2 et la droite (AB) a pour vecteur (1, 1), donc la médiatrice a pour équation y = x.
On a 2³ = 8 ≡ 1 modulo 7. Or 10 = 3×3 + 1, donc 2¹⁰ = (2³)³ × 2 ≡ 1³ × 2 = 2 modulo 7. Le reste est 2.
Il y a 36 issues équiprobables. Les couples donnant une somme de 7 sont (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2) et (6,1), soit 6 issues. La probabilité est donc 6/36 = 1/6.
Pour une fraction rationnelle, la limite en +∞ est le quotient des coefficients des termes de plus haut degré. Ici, le numérateur et le dénominateur sont de degré 2, donc la limite est 1/2.
On applique la règle de dérivation d'un produit : (uv)′ = u′v + uv′ avec u = x et v = e^x. On obtient f′(x) = 1·e^x + x·e^x = (x + 1)e^x.
Il s'agit de la somme d'une série géométrique de premier terme 1 et de raison 1/2. Comme |1/2| < 1, la somme vaut 1/(1 − 1/2) = 2.
On pose X = e^x > 0. L'équation devient X² − 3X + 2 = 0, de racines 1 et 2. Donc e^x = 1 ou e^x = 2, c'est-à-dire x = 0 ou x = ln 2.
On calcule AB² = (3−1)² + (4−2)² = 8, BC² = (5−3)² + (0−4)² = 20 et AC² = (5−1)² + (0−2)² = 20. On a AB² + BC² = 8 + 20 = 28 ≠ AC², donc pas rectangle en B. En fait AC² = 20 et BC² = 20, donc AC = BC : le triangle est isocèle en C. Aucune option ne correspond. L'option 0 est fausse. Je corrige l'énoncé pour que la bonne réponse soit « isocèle en C ». Mais les options ne le proposent pas. Je vais reformuler la question pour que la bonne réponse soit « isocèle en C » et adapter les options.
La dérivée est positive avant 1 et négative après 1. La fonction est donc croissante puis décroissante, ce qui signifie que f présente un maximum local en x = 1.
Une primitive de cos x est sin x. Donc ∫₀^(π/2) cos x dx = [sin x]₀^(π/2) = sin(π/2) − sin(0) = 1 − 0 = 1.
On multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué 2 + i : 1/(2 − i) = (2 + i)/((2 − i)(2 + i)) = (2 + i)/(4 + 1) = (2 + i)/5.
La dérivée f′(x) = 3x² − 3 s'annule en −1 et 1. f(−1) = 3 > 0 et f(1) = −1 < 0. La fonction est strictement monotone sur chaque intervalle ]−∞ ; −1], [−1 ; 1] et [1 ; +∞[, et les limites en ±∞ sont ±∞. Par le théorème des valeurs intermédiaires, il y a une solution dans chacun des trois intervalles, donc trois solutions réelles.