O tanque cilíndrico da estação de tratamento
Uma estação experimental dispõe de um tanque cilíndrico de raio 2 m e altura 5 m, inicialmente vazio, e de duas bombas. A bomba A enche o tanque a 300 L/min; a bomba B esvazia a 200 L/min. O regulamento exige que o nível de água nunca ultrapasse 80% da capacidade e que a operação comece com as duas bombas ligadas simultaneamente, desligando-se a bomba B quando o tanque atingir 60% da capacidade. Considere π ≈ 3,14 e 1 m³ = 1000 L. Um operador afirma que, mantendo as duas bombas ligadas o tempo todo, o tanque levaria exatamente o mesmo tempo para atingir 80% do que levaria no procedimento regulamentar.
1. Calcule a capacidade total do tanque e o volume correspondente a 80%.
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Volume do cilindro: V = πr²h = 3,14 × 2² × 5 = 3,14 × 4 × 5 = 62,8 m³. Convertendo: 62,8 × 1000 = 62 800 L. 80% desse valor: 0,8 × 62 800 = 50 240 L. (60% = 37 680 L.) O candidato deve perceber que a conversão m³→L é obrigatória antes de comparar com as vazões, dadas em L/min - erro clássico de unidade.
2. Determine o tempo total, em minutos, do procedimento regulamentar (duas bombas até 60%, depois só a bomba A até 80%).
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Fase 1: vazão líquida = 300 − 200 = 100 L/min. Volume a preencher: 37 680 L. Tempo = 37 680 ÷ 100 = 376,8 min.
Fase 2: só a bomba A, 300 L/min. Volume restante: 50 240 − 37 680 = 12 560 L. Tempo = 12 560 ÷ 300 ≈ 41,87 min.
Total ≈ 376,8 + 41,87 ≈ 418,7 min (cerca de 6 h 59 min). O ponto de atenção é que a fase com as duas bombas é lenta justamente porque as vazões se opõem; desligar B acelera muito o enchimento, o que já sugere que a afirmação do operador é falsa.
3. A afirmação do operador é verdadeira? Justifique com um cálculo comparativo.
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Não. Mantendo as duas bombas ligadas, a vazão líquida seria sempre 100 L/min, e o tempo para 50 240 L seria 50 240 ÷ 100 = 502,4 min. O procedimento regulamentar gasta ≈ 418,7 min, ou seja, cerca de 83,7 min menos. A intuição do operador ignora que a partir dos 60% a bomba de escoamento deixa de ser desligada apenas no papel: no procedimento correto ela é desligada, e a vazão efetiva triplica (de 100 para 300 L/min). Além disso, a comparação exige que ambos os cálculos usem o mesmo volume final (50 240 L); comparar tempos até volumes diferentes seria erro de método.