Les suites de cure-dents de Léa et Noah
En classe, Léa et Noah construisent des suites avec des cure-dents. La figure 1 de Léa est un triangle fait de 3 cure-dents; chaque nouvelle figure ajoute un triangle et 2 cure-dents. Noah commence avec un carré de 4 cure-dents et ajoute 3 cure-dents par figure. Ils disposent chacun de 75 cure-dents et doivent construire la plus grande figure possible sans dépasser 75. Léa écrit : 3 + 2(n − 1) = 75. Noah écrit : 4 + 3(n − 1) = 75. Léa affirme qu'elle atteindra la figure 37, alors que Noah dit que sa figure 24 est plus « grande » parce que son numéro est plus petit. Leur enseignante demande de comparer le nombre de cure-dents réellement utilisés.
1. Trouve le plus grand numéro de figure que chacun peut atteindre avec 75 cure-dents et vérifie l'affirmation de Léa.
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Léa : 3 + 2(n − 1) = 2n + 1. Il faut 2n + 1 ≤ 75, donc 2n ≤ 74 et n ≤ 37. À n = 37 : 2(37) + 1 = 75 cure-dents exactement. Elle atteint donc la figure 37.
Noah : 4 + 3(n − 1) = 3n + 1. Il faut 3n + 1 ≤ 75, donc 3n ≤ 74, soit n ≤ 24,66… La figure 24 utilise 3(24) + 1 = 73 cure-dents; la figure 25 en demanderait 76, ce qui dépasse. Noah s'arrête à 24.
L'affirmation de Léa est exacte. On vérifie en remontant : 2 × 37 + 1 = 75 et 2 × 38 + 1 = 77 > 75.
2. Noah soutient que sa figure 24 est plus « grande » que la figure 37 de Léa parce que son numéro est plus petit. Démonte ce raisonnement.
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Le numéro d'une figure n'est pas une unité de mesure comparable d'une suite à l'autre : il dépend du nombre de cure-dents ajoutés à chaque étape. Comparer 24 et 37 revient à comparer des pommes et des oranges.
Ce qu'il faut comparer, c'est la matière utilisée : Léa emploie 75 cure-dents répartis en 37 triangles; Noah en emploie 73 répartis en 24 carrés. Léa a donc la construction la plus longue et consomme plus de matériel.
Le petit numéro de Noah s'explique justement par le coût plus élevé de chaque étape (3 cure-dents au lieu de 2). Son argument « numéro plus petit donc figure plus grande » inverse la logique : à quantité égale de matériel, une suite qui consomme plus par étape arrive forcément à un numéro plus bas.
3. Pour résoudre 4 + 3(n − 1) = 75, Noah soustrait 4 du seul côté gauche. Explique l'erreur, corrige la démarche et donne la solution.
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En enlevant 4 à gauche sans rien enlever à droite, Noah brise l'égalité : les deux membres ne représentent plus la même quantité. C'est la règle de conservation de l'égalité qui est violée.
Démarche correcte : 4 + 3(n − 1) − 4 = 75 − 4 3(n − 1) = 71 n − 1 = 71 ÷ 3 ≈ 23,67 n ≈ 24,67
Comme n doit être entier, Noah peut construire 24 figures. Vérification : 3(24) + 1 = 73 ≤ 75, alors que 3(25) + 1 = 76 > 75. La solution est cohérente avec le décompte direct.