Deux bacs à terre pour le jardin scolaire
Deux équipes du jardin scolaire conçoivent chacune un bac surélevé. Le bac A mesure 120 cm sur 60 cm sur 40 cm de hauteur; le bac B mesure 100 cm sur 80 cm sur 36 cm. Dans les deux cas, on laisse 5 cm libres sous le rebord : la terre atteint donc 35 cm dans A et 31 cm dans B. La terre se vend en sacs de 30 L à 8,50 $, en sacs entiers seulement. Le bois des quatre parois (sans le fond) coûte 0,04 $ le cm². L'équipe A affirme que son bac contient plus de terre « parce qu'il est plus long ». L'équipe B répond que le sien est plus économique. Le responsable veut une comparaison chiffrée complète avant d'acheter.
1. Calcule le volume de terre de chaque bac et le nombre de sacs nécessaires. L'affirmation de l'équipe A est-elle exacte, et cela change-t-il quelque chose à l'achat ?
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Bac A : 120 × 60 × 35 = 252 000 cm³ = 252 L. Bac B : 100 × 80 × 31 = 248 000 cm³ = 248 L.
L'équipe A a raison sur le fond, mais l'écart n'est que de 4 L, soit environ 1,6 %. Sa longueur plus grande est presque entièrement compensée par la largeur et la hauteur plus petites : un volume ne se juge pas sur une seule dimension.
Sacs de 30 L : A → 252 ÷ 30 = 8,4, donc 9 sacs; B → 248 ÷ 30 ≈ 8,27, donc 9 sacs aussi. Les deux équipes achètent 9 sacs, soit 9 × 8,50 = 76,50 $ chacune. La différence de volume n'a donc aucun effet sur la facture de terre.
2. Calcule le coût du bois des parois pour chaque bac, puis le coût total (terre + bois). Quel bac le responsable devrait-il choisir, et pourquoi ?
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Le bois couvre les quatre parois : aire = périmètre × hauteur.
Bac A : périmètre = 2(120 + 60) = 360 cm; 360 × 40 = 14 400 cm² → 14 400 × 0,04 = 576,00 $. Bac B : périmètre = 2(100 + 80) = 360 cm (identique); 360 × 36 = 12 960 cm² → 12 960 × 0,04 = 518,40 $.
Totaux : A = 576,00 + 76,50 = 652,50 $; B = 518,40 + 76,50 = 594,90 $.
Le bac B coûte 57,60 $ de moins tout en contenant presque autant de terre (248 L contre 252 L). Le responsable devrait choisir B : c'est le meilleur rapport entre la terre obtenue et le coût.
3. Pour rigidifier chaque coin, on fixe une planche diagonale entre les deux parois. L'angle entre la paroi longue et cette diagonale mesure 35°. Quels sont les deux autres angles du triangle formé, et comment le vérifier ?
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Le coin d'un bac rectangulaire forme un angle droit de 90°. La diagonale partage cet angle en deux angles complémentaires :
35° + x = 90°, donc x = 55°.
Le triangle formé par la diagonale et les deux parois a donc des angles de 90°, 35° et 55°.
Vérification par la somme des angles d'un triangle : 90 + 35 + 55 = 180°, ce qui est bien la propriété attendue. Si l'angle mesuré entre la diagonale et la paroi longue était plutôt de 35° par rapport à la paroi courte, les rôles seraient inversés : 55° avec la paroi longue et 35° avec la courte.