La roulette de la kermesse
La classe de 6e tient un kiosque à la kermesse. La roulette comporte 8 secteurs égaux : 3 rouges, 3 bleus et 2 jaunes. Un joueur paie 1,00 $; il reçoit 2,00 $ si la flèche s'arrête sur jaune et rien autrement. Après 200 parties, l'équipe a noté 62 rouges, 58 bleus et 80 jaunes. Elle affiche aussi un diagramme à bandes du nombre de joueurs par heure dont l'axe vertical commence à 40. L'équipe soutient que la roulette est équitable puisque les huit secteurs sont égaux et que les 80 jaunes sont simplement « la chance ». La responsable des finances demande si le jeu rapporte de l'argent à l'école; la directrice demande si les résultats observés sont plausibles et si l'affichage est honnête.
1. Calcule le profit moyen par partie si la roulette est équilibrée, puis le profit réel des 200 parties. Le jeu rapporte-t-il de l'argent à l'école ?
Read the worked answer
Théorie. P(jaune) = 2 ÷ 8 = 0,25. Gain espéré versé par partie : 0,25 × 2,00 $ = 0,50 $. Comme le joueur paie 1,00 $, l'école garde en moyenne 0,50 $ par partie, soit 100 $ pour 200 parties.
Résultats observés. 80 jaunes × 2,00 $ = 160 $ versés pour 200 $ encaissés : profit réel de 40 $.
Le jeu rapporte de l'argent dans les deux cas, mais 2,5 fois moins que prévu. L'écart de 60 $ correspond exactement aux 30 jaunes « en trop » par rapport aux 50 attendus (30 × 2,00 $ = 60 $). La conclusion « le jeu est rentable » tient, mais la marge est bien plus fragile que prévu.
2. Avec une roulette réellement équilibrée, 80 jaunes sur 200 parties est-il plausible ? Que faut-il en conclure ?
Read the worked answer
On attend 200 × 0,25 = 50 jaunes. Pour 200 essais, l'écart-type vaut √(200 × 0,25 × 0,75) = √37,5 ≈ 6,1. Un résultat de 80 se situe à (80 − 50) ÷ 6,1 ≈ 4,9 écarts-types au-dessus de la moyenne.
Un écart aussi grand est extrêmement improbable (bien moins de 1 %). Le hasard seul n'explique pas facilement une telle différence : il faut vérifier si les secteurs sont réellement égaux, si l'axe est bien centré, si la flèche n'accroche pas, ou si les résultats ont été mal notés. On ne peut pas balayer la question en disant « c'est la chance » : les données pointent vers un problème à corriger avant de promettre un jeu équitable.
3. Le diagramme à bandes du nombre de joueurs par heure commence à 40 sur l'axe vertical. Explique en quoi cela trompe le lecteur et propose une correction.
Read the worked answer
Avec un axe partant de 0, une bande de 70 joueurs mesure 70 unités et une bande de 60 mesure 60 : la première paraît 17 % plus haute (70 ÷ 60).
Avec un axe partant de 40, les hauteurs tracées deviennent 30 et 20 : la bande de 70 paraît alors 50 % plus haute (30 ÷ 20), soit presque le triple de l'écart réel. Les différences entre kiosques sont visuellement amplifiées et un petit écart semble spectaculaire.
Correction : faire partir l'axe vertical de 0, garder une échelle régulière et indiquer clairement les graduations. Si l'on veut montrer seulement les variations, il faut le préciser explicitement et éviter de comparer les hauteurs à l'œil.