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Bac Série E Côte d'Ivoire practice questions

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First 50 of 200 questions. Each one lists the choices, the correct answer, and an explanation. The checker at the top of this page saves progress in this browser when it is available.

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Question 1Mathématiques

On considère la suite (Uₙ) définie par U₀ = 2 et Uₙ₊₁ = 3Uₙ − 4 pour tout entier naturel n. Quelle est la valeur de U₂ ?

  1. 10
  2. 6
  3. 2 Correct answer.
  4. 14

Explanation

On calcule de proche en proche : U₁ = 3×2 − 4 = 2, puis U₂ = 3×2 − 4 = 2. La suite est donc constante égale à 2, car 2 est le point fixe de la relation Uₙ₊₁ = 3Uₙ − 4.

Question 2Mathématiques

Quelle est la raison de la suite arithmétique (Vₙ) telle que V₃ = 11 et V₈ = 31 ?

  1. 4 Correct answer.
  2. 5
  3. 3
  4. 20

Explanation

Pour une suite arithmétique, V₈ = V₃ + 5r, donc 31 = 11 + 5r, ce qui donne 5r = 20 et r = 4. La raison est bien 4, valeur constante de la différence entre deux termes consécutifs.

Question 3Mathématiques

La suite (Wₙ) est géométrique de premier terme W₀ = 5 et de raison q = ½. Quelle est l'expression de Wₙ en fonction de n ?

  1. Wₙ = 5 × (½)ⁿ Correct answer.
  2. Wₙ = ½ × 5ⁿ
  3. Wₙ = 5 + ½n
  4. Wₙ = 5 × 2ⁿ

Explanation

Le terme général d'une suite géométrique de premier terme W₀ et de raison q est Wₙ = W₀ × qⁿ. Ici W₀ = 5 et q = ½, donc Wₙ = 5 × (½)ⁿ, suite décroissante tendant vers 0.

Question 4Mathématiques

On pose A = 3⁵ × 3⁻². Quelle est la valeur simplifiée de A ?

  1. 27 Correct answer.
  2. 9
  3. 243
  4. 3⁻¹⁰

Explanation

Pour multiplier deux puissances d'un même nombre, on additionne les exposants : 3⁵ × 3⁻² = 3⁵⁻² = 3³. Or 3³ = 27, donc A = 27.

Question 5Mathématiques

Quelle est la forme développée et réduite de l'expression (2x − 3)² ?

  1. 2x² − 12x + 9
  2. 4x² − 12x + 9 Correct answer.
  3. 4x² + 12x + 9
  4. 4x² − 9

Explanation

On applique l'identité remarquable (a − b)² = a² − 2ab + b² avec a = 2x et b = 3. On obtient 4x² − 12x + 9, où le double produit vaut bien 2 × 2x × 3 = 12x.

Question 6Mathématiques

Quelle est la solution de l'équation 5x − 7 = 2x + 11 ?

  1. x = 4
  2. x = 6 Correct answer.
  3. x = 2
  4. x = 18

Explanation

On regroupe les termes en x dans un membre : 5x − 2x = 11 + 7, soit 3x = 18, d'où x = 6. La vérification donne 5×6 − 7 = 23 et 2×6 + 11 = 23, l'égalité est bien satisfaite.

Question 7Mathématiques

Dans le plan muni d'un repère orthonormé, quelle est la distance entre les points A(1 ; 2) et B(4 ; 6) ?

  1. √7
  2. 25
  3. 5 Correct answer.
  4. 7

Explanation

La distance AB vaut √((x_B − x_A)² + (y_B − y_A)²) = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5. C'est une configuration classique du triangle rectangle 3-4-5.

Question 8Mathématiques

Quelle est la dérivée de la fonction f définie sur ℝ par f(x) = 3x² − 5x + 2 ?

  1. f′(x) = 6x + 2
  2. f′(x) = 6x − 5 Correct answer.
  3. f′(x) = 3x − 5
  4. f′(x) = 6x² − 5

Explanation

On dérive terme à terme : la dérivée de 3x² est 6x, celle de −5x est −5 et celle de la constante 2 est 0. On obtient donc f′(x) = 6x − 5.

Question 9Mathématiques

La fonction g est définie sur ℝ par g(x) = x³ − 3x. Quel est le sens de variation de g sur l'intervalle ]−∞ ; −1] ?

  1. g est strictement croissante sur ]−∞ ; −1] Correct answer.
  2. g est croissante puis décroissante sur ]−∞ ; −1]
  3. g est strictement décroissante sur ]−∞ ; −1]
  4. g est constante sur ]−∞ ; −1]

Explanation

On calcule g′(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1). Sur ]−∞ ; −1[, on a x < −1, donc x − 1 < 0 et x + 1 < 0, le produit est positif et g′ > 0 : g est strictement croissante.

Question 10Mathématiques

Quelle est la limite quand x tend vers +∞ de la fonction h(x) = (2x² + 3x − 1)/(x² + 5) ?

  1. 3
  2. 0
  3. +∞
  4. 2 Correct answer.

Explanation

On divise numérateur et dénominateur par x² : h(x) = (2 + 3/x − 1/x²)/(1 + 5/x²). Quand x tend vers +∞, les termes en 1/x et 1/x² tendent vers 0, la limite vaut donc 2/1 = 2.

Question 11Mathématiques

Quel est le signe du trinôme P(x) = x² − 5x + 6 sur l'intervalle ]2 ; 3[ ?

  1. P(x) change de signe à l'intérieur de ]2 ; 3[
  2. P(x) = 0 sur ]2 ; 3[
  3. P(x) > 0 sur ]2 ; 3[
  4. P(x) < 0 sur ]2 ; 3[ Correct answer.

Explanation

Le discriminant vaut Δ = 25 − 24 = 1, les racines sont x = 2 et x = 3. Comme le coefficient de x² est positif, le trinôme est négatif entre ses racines, donc P(x) < 0 sur ]2 ; 3[.

Question 12Mathématiques

On considère la suite (Uₙ) définie par Uₙ = (3n + 1)/(n + 2) pour n ≥ 0. Quelle est la limite de (Uₙ) quand n tend vers +∞ ?

  1. 0
  2. 3 Correct answer.
  3. +∞
  4. 1

Explanation

On divise numérateur et dénominateur par n : Uₙ = (3 + 1/n)/(1 + 2/n). Les termes 1/n et 2/n tendent vers 0, la limite est donc 3/1 = 3. La suite est convergente vers 3.

Question 13Mathématiques

Une urne contient 4 boules rouges et 6 boules noires, indiscernables au toucher. On tire simultanément deux boules. Quelle est la probabilité d'obtenir deux boules rouges ?

  1. 4/10
  2. 1/5
  3. 2/15 Correct answer.
  4. 8/45

Explanation

Le nombre de tirages possibles est C(10 ; 2) = 45 et le nombre de tirages de deux rouges est C(4 ; 2) = 6. La probabilité vaut donc 6/45 = 2/15.

Question 14Mathématiques

Dans une classe de 30 élèves, on doit élire un bureau composé d'un président, d'un secrétaire et d'un trésorier, tous distincts. Combien de bureaux différents peut-on former ?

  1. 24 360 Correct answer.
  2. 90
  3. 4 060
  4. 27 000

Explanation

L'ordre des fonctions importe et les trois élèves sont distincts : il s'agit d'un arrangement de 3 éléments parmi 30. On calcule 30 × 29 × 28 = 24 360 bureaux possibles.

Question 15Mathématiques

Dans le plan complexe, on considère z = 1 + i√3. Quelle est l'écriture trigonométrique de z ?

  1. z = 4(cos(π/3) + i sin(π/3))
  2. z = 2(cos(π/6) + i sin(π/6))
  3. z = √3(cos(π/3) + i sin(π/3))
  4. z = 2(cos(π/3) + i sin(π/3)) Correct answer.

Explanation

Le module vaut |z| = √(1 + 3) = 2. On cherche θ tel que cos θ = 1/2 et sin θ = √3/2, soit θ = π/3. Donc z = 2(cos(π/3) + i sin(π/3)).

Question 16Mathématiques

On considère la fonction f définie sur ]0 ; +∞[ par f(x) = x − 2 + ln x. Quelle est la valeur de f′(x) ?

  1. f′(x) = 1 − 2/x
  2. f′(x) = x + 1/x
  3. f′(x) = 1 + 1/x Correct answer.
  4. f′(x) = 1/x

Explanation

La dérivée de x est 1, celle de la constante −2 est 0 et celle de ln x est 1/x. On obtient donc f′(x) = 1 + 1/x, quantité strictement positive sur ]0 ; +∞[, ce qui montre que f est croissante.

Question 17Mathématiques

Quelle est la valeur de l'intégrale ∫ de 0 à 1 de (3x² + 2x) dx ?

  1. 1
  2. 3
  3. 5
  4. 2 Correct answer.

Explanation

Une primitive de 3x² + 2x est x³ + x². En évaluant entre 0 et 1, on obtient (1 + 1) − (0 + 0) = 2. L'intégrale vaut donc 2.

Question 18Mathématiques

Dans un repère orthonormé, la droite (D) a pour équation cartésienne 2x − 3y + 6 = 0. Quelle est l'équation réduite de (D) ?

  1. y = (3/2)x + 2
  2. y = 2x + 6
  3. y = (2/3)x + 2 Correct answer.
  4. y = (−2/3)x + 2

Explanation

On isole y : −3y = −2x − 6, puis y = (2/3)x + 2. Le coefficient directeur est donc 2/3 et l'ordonnée à l'origine vaut 2.

Question 19Mathématiques

On considère la suite (Uₙ) définie par U₀ = 1 et Uₙ₊₁ = ½Uₙ + 3. Quelle est la limite de (Uₙ) quand n tend vers +∞ ?

  1. 1
  2. 3
  3. +∞
  4. 6 Correct answer.

Explanation

La suite converge car la raison ½ vérifie |½| < 1. Sa limite L est le point fixe de la relation : L = ½L + 3, donc ½L = 3 et L = 6. La suite est croissante et tend vers 6.

Question 20Mathématiques

Soit la fonction f définie sur ℝ par f(x) = x³ − 3x + 1. Combien la courbe de f admet-elle de tangentes horizontales ?

  1. 2 Correct answer.
  2. 1
  3. 0
  4. 3

Explanation

Les tangentes horizontales correspondent aux valeurs de x où f′(x) = 0. Or f′(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1), qui s'annule en x = −1 et x = 1 : il y a donc deux tangentes horizontales.

Question 21Mathématiques

Dans le plan complexe, on considère les points A, B, C d'affixes respectives z_A = 1, z_B = 2 + i et z_C = 3. Quelle est la nature du triangle ABC ?

  1. ABC est rectangle isocèle en B Correct answer.
  2. ABC est isocèle en A seulement
  3. ABC est rectangle en A
  4. ABC est équilatéral

Explanation

On calcule les carrés des longueurs : AB² = 1² + 1² = 2, BC² = 1² + 1² = 2 et AC² = 2² = 4. Comme AB = BC et AB² + BC² = AC², le triangle est rectangle isocèle en B.

Question 22Mathématiques

On considère la fonction f définie sur ]0 ; +∞[ par f(x) = x − 2 + ln x. Combien l'équation f(x) = 0 admet-elle de solutions dans ]0 ; +∞[ ?

  1. Une seule solution Correct answer.
  2. Deux solutions
  3. Trois solutions
  4. Aucune solution

Explanation

f′(x) = 1 + 1/x > 0, donc f est strictement croissante sur ]0 ; +∞[. De plus f(1) = −1 < 0 et f(2) = ln 2 > 0 : d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f(x) = 0 admet une unique solution dans ]1 ; 2[.

Question 23Mathématiques

Une urne contient 3 boules blanches et 2 boules noires. On effectue deux tirages successifs avec remise. Quelle est la probabilité d'obtenir exactement une boule blanche ?

  1. 12/25 Correct answer.
  2. 6/25
  3. 9/25
  4. 3/5

Explanation

À chaque tirage, la probabilité d'obtenir une blanche est 3/5 et celle d'une noire 2/5. L'événement « exactement une blanche » se réalise de deux façons : BN ou NB, de probabilité 2 × (3/5) × (2/5) = 12/25.

Question 24Mathématiques

On considère la suite (Uₙ) définie par U₀ = 2 et Uₙ₊₁ = ½Uₙ + 1. On pose Vₙ = Uₙ − 2. Quelle est la nature de la suite (Vₙ) ?

  1. (Vₙ) est constante égale à 2
  2. (Vₙ) est arithmétique de raison ½
  3. (Vₙ) est géométrique de raison ½ Correct answer.
  4. (Vₙ) est géométrique de raison 2

Explanation

On calcule Vₙ₊₁ = Uₙ₊₁ − 2 = ½Uₙ + 1 − 2 = ½Uₙ − 1 = ½(Uₙ − 2) = ½Vₙ. La suite (Vₙ) est donc géométrique de raison ½ et de premier terme V₀ = 0, ce qui montre que Uₙ = 2 pour tout n.

Question 25Mathématiques

Dans le plan complexe, on considère la rotation r de centre O et d'angle π/2. Quelle est l'affixe du point image du point d'affixe z = 2 − i par cette rotation ?

  1. 2 + i
  2. −1 − 2i
  3. −2 + i
  4. 1 + 2i Correct answer.

Explanation

La rotation de centre O et d'angle θ a pour écriture complexe z′ = z e^{iθ}. Ici e^{iπ/2} = i, donc z′ = (2 − i) × i = 2i − i² = 1 + 2i.

Question 26Mathématiques

On considère la suite (Uₙ) définie sur ℕ par Uₙ = 5 − 3n. Quelle est la nature de cette suite ?

  1. Elle n'est ni arithmétique ni géométrique.
  2. Elle est arithmétique de raison −3 et de premier terme 5. Correct answer.
  3. Elle est arithmétique de raison 5 et de premier terme −3.
  4. Elle est géométrique de raison −3 et de premier terme 5.

Explanation

On calcule Uₙ₊₁ − Uₙ = 5 − 3(n+1) − (5 − 3n) = −3, différence constante : la suite est arithmétique de raison −3. Son premier terme est U₀ = 5 − 0 = 5.

Question 27Mathématiques

Dans le plan complexe, on considère le nombre complexe z = −2 + 2i. Quel est le module de z ?

  1. 4
  2. √2
  3. 2√2 Correct answer.
  4. 2

Explanation

Le module d'un complexe z = a + bi vaut |z| = √(a² + b²). Ici a = −2 et b = 2, donc |z| = √(4 + 4) = √8 = 2√2.

Question 28Mathématiques

Quelle est la valeur de la somme S = 1 + 3 + 5 + … + 99, somme des 50 premiers entiers impairs ?

  1. 2500 Correct answer.
  2. 10000
  3. 4950
  4. 5000

Explanation

La somme des n premiers entiers impairs vaut n². Ici le k-ième terme est 2k − 1, et 2k − 1 = 99 donne k = 50, donc S = 50² = 2500.

Question 29Mathématiques

Dans le plan muni d'un repère orthonormé, on considère les vecteurs u(3 ; −1) et v(2 ; 5). Quel est le produit scalaire u · v ?

  1. 11
  2. 13
  3. 1 Correct answer.
  4. −1

Explanation

Dans un repère orthonormé, le produit scalaire se calcule par u · v = x x′ + y y′. Ici 3 × 2 + (−1) × 5 = 6 − 5 = 1.

Question 30Mathématiques

Quelle est la solution dans ℝ de l'équation ln(2x − 1) = 0 ?

  1. x = 0
  2. x = 1/2
  3. x = e
  4. x = 1 Correct answer.

Explanation

ln A = 0 équivaut à A = 1, à condition que A > 0. On résout donc 2x − 1 = 1, soit x = 1, et on vérifie que 2(1) − 1 = 1 > 0 : la solution est valable.

Question 31Mathématiques

Une urne contient 5 boules numérotées de 1 à 5. On tire une boule au hasard. Quelle est la probabilité d'obtenir un numéro pair ?

  1. 1/5
  2. 1/2
  3. 2/5 Correct answer.
  4. 3/5

Explanation

Les issues favorables sont 2 et 4, soit 2 cas sur les 5 issues équiprobables. La probabilité vaut donc 2/5.

Question 32Mathématiques

Quelle est la dérivée de la fonction f définie sur ]0 ; +∞[ par f(x) = x ln x ?

  1. f′(x) = ln x + 1 Correct answer.
  2. f′(x) = 1/x
  3. f′(x) = ln x
  4. f′(x) = x + ln x

Explanation

On applique la formule de dérivation d'un produit (uv)′ = u′v + uv′ avec u(x) = x et v(x) = ln x. On obtient f′(x) = 1 × ln x + x × (1/x) = ln x + 1.

Question 33Mathématiques

Dans le plan complexe, on considère les points A d'affixe 1 + i et B d'affixe 3 + 2i. Quelle est l'affixe du vecteur AB ?

  1. 4 + 3i
  2. 2 + i Correct answer.
  3. 1 + i
  4. −2 − i

Explanation

L'affixe du vecteur AB est z_B − z_A = (3 + 2i) − (1 + i) = 2 + i. On soustrait les parties réelles et les parties imaginaires séparément.

Question 34Mathématiques

Dans le plan muni d'un repère orthonormé, on considère la droite (D) d'équation y = 2x − 3 et la droite (Δ) d'équation y = −½x + 1. Quelle est la position relative de (D) et (Δ) ?

  1. Elles sont parallèles.
  2. Elles sont confondues.
  3. Elles sont sécantes sans être perpendiculaires.
  4. Elles sont perpendiculaires. Correct answer.

Explanation

Le produit des coefficients directeurs vaut 2 × (−½) = −1 : les deux droites sont donc perpendiculaires. Leurs coefficients directeurs étant différents, elles ne sont pas parallèles.

Question 35Mathématiques

Soit f une fonction définie sur ℝ. Quelle condition suffit pour affirmer que f admet un extremum local en un point a de ℝ ?

  1. f est continue en a
  2. f′(a) = 0
  3. f′(a) = 0 et f′ change de signe en a Correct answer.
  4. f″(a) = 0

Explanation

L'annulation de la dérivée ne suffit pas : il faut de plus un changement de signe de f′ en a, qui traduit un changement de sens de variation. C'est la condition suffisante d'existence d'un extremum local.

Question 36Mathématiques

Une urne contient 4 boules rouges et 6 boules blanches indiscernables au toucher. On tire simultanément deux boules. Quelle est la probabilité d'obtenir deux boules de la même couleur ?

  1. 8/15
  2. 4/15
  3. 1/3
  4. 7/15 Correct answer.

Explanation

Le nombre total de tirages est C(10,2) = 45. Les tirages favorables sont deux rouges C(4,2) = 6 ou deux blanches C(6,2) = 15, soit 21 cas. La probabilité vaut 21/45 = 7/15.

Question 37Mathématiques

On considère la suite (Uₙ) définie par U₀ = 3 et, pour tout n de ℕ, Uₙ₊₁ = 2Uₙ − 3. On pose Vₙ = Uₙ − 3. Quelle est l'expression de Vₙ en fonction de n ?

  1. Vₙ = 2n
  2. Vₙ = 0 pour tout n Correct answer.
  3. Vₙ = 2ⁿ
  4. Vₙ = 3 × 2ⁿ

Explanation

On calcule Vₙ₊₁ = Uₙ₊₁ − 3 = 2Uₙ − 6 = 2(Uₙ − 3) = 2Vₙ. De plus V₀ = U₀ − 3 = 0, donc la suite géométrique (Vₙ) est nulle : Vₙ = 0 × 2ⁿ = 0 pour tout n.

Question 38Mathématiques

On considère la fonction f définie sur ℝ par f(x) = x³ − 12x. Quelle est la valeur du maximum local de f ?

  1. 16 Correct answer.
  2. 0
  3. −16
  4. 12

Explanation

f′(x) = 3x² − 12 = 3(x − 2)(x + 2). La dérivée s'annule en −2 et 2, et elle est négative entre ces valeurs : f admet un maximum local en x = −2. On calcule f(−2) = −8 + 24 = 16.

Question 39Mathématiques

Quelle est la valeur de l'intégrale ∫ de 1 à e de (1/x) dx ?

  1. 1 Correct answer.
  2. e
  3. e − 1
  4. ln e − 1

Explanation

Une primitive de 1/x sur ]0 ; +∞[ est ln x. L'intégrale vaut donc ln(e) − ln(1) = 1 − 0 = 1.

Question 40Mathématiques

Dans le plan complexe, on considère le nombre complexe z = 1 + i. Quel est l'argument principal de z, exprimé en radians ?

  1. π/4 Correct answer.
  2. π/2
  3. 3π/4
  4. −π/4

Explanation

Pour z = a + bi avec a > 0, l'argument vérifie tan θ = b/a = 1, donc θ = π/4. Le point d'affixe 1 + i se situe dans le premier quadrant, ce qui confirme la valeur π/4.

Question 41Mathématiques

Dans un repère orthonormé, on considère la droite (D) d'équation cartésienne 3x + 4y − 12 = 0. Quelle est la distance du point O(0 ; 0) à la droite (D) ?

  1. 3
  2. 12/7
  3. 4
  4. 12/5 Correct answer.

Explanation

La distance d'un point (x₀ ; y₀) à la droite ax + by + c = 0 vaut |ax₀ + by₀ + c| / √(a² + b²). Ici on obtient |−12| / √(9 + 16) = 12/5.

Question 42Mathématiques

On considère la fonction f définie sur ℝ par f(x) = (2x + 1)/(x² + 1). Quelle est la limite de f(x) quand x tend vers +∞ ?

  1. 2
  2. +∞
  3. 0 Correct answer.
  4. 1

Explanation

Au voisinage de +∞, le numérateur est équivalent à 2x et le dénominateur à x². Le quotient est donc équivalent à 2x/x² = 2/x, qui tend vers 0.

Question 43Mathématiques

Une entreprise produit un article dont le coût total, en milliers de francs CFA, est C(q) = q² + 10q + 100 pour une quantité q, en centaines d'unités. Quelle est la valeur du coût marginal pour q = 5 ?

  1. 175
  2. 35
  3. 25
  4. 20 Correct answer.

Explanation

Le coût marginal est la dérivée du coût total : C′(q) = 2q + 10. Pour q = 5, on obtient C′(5) = 10 + 10 = 20.

Question 44Mathématiques

On considère la suite (Uₙ) définie par U₀ = 1 et Uₙ₊₁ = Uₙ + 2n + 1 pour tout n de ℕ. Quelle est l'expression de Uₙ en fonction de n ?

  1. Uₙ = n²
  2. Uₙ = n² + n + 1
  3. Uₙ = n² + 1 Correct answer.
  4. Uₙ = 2n + 1

Explanation

On remarque que Uₙ₊₁ − Uₙ = 2n + 1 = (n + 1)² − n². En sommant ces égalités et en utilisant U₀ = 1, on obtient Uₙ = n² + 1. La vérification pour n = 1 et n = 2 confirme la formule.

Question 45Mathématiques

Dans le plan complexe, on considère l'équation z² − 4z + 13 = 0 d'inconnue complexe z. Quelles sont les solutions de cette équation ?

  1. z = 3 + 2i et z = 3 − 2i
  2. z = −2 + 3i et z = −2 − 3i
  3. z = 2 + i et z = 2 − i
  4. z = 2 + 3i et z = 2 − 3i Correct answer.

Explanation

Le discriminant vaut Δ = 16 − 52 = −36 = (6i)². Les solutions sont z = (4 ± 6i)/2, soit z = 2 + 3i et z = 2 − 3i. Leur somme vaut bien 4 et leur produit 13.

Question 46Mathématiques

On considère la fonction f définie sur ]0 ; +∞[ par f(x) = x − 2 + ln x. Quelle est la limite de f(x) quand x tend vers 0 par valeurs supérieures ?

  1. +∞
  2. 0
  3. −2
  4. −∞ Correct answer.

Explanation

Quand x tend vers 0⁺, x − 2 tend vers −2 et ln x tend vers −∞. La somme tend donc vers −∞, car le logarithme impose son comportement.

Question 47Mathématiques

On considère la suite (Uₙ) définie par U₀ = 1 et Uₙ₊₁ = ½Uₙ + 4 pour tout n de ℕ. Quelle est la limite de (Uₙ) quand n tend vers +∞ ?

  1. 8 Correct answer.
  2. 4
  3. 1
  4. +∞

Explanation

La suite converge vers le point fixe l solution de l = ½l + 4, soit l = 8. On peut le justifier en posant Vₙ = Uₙ − 8, suite géométrique de raison ½ qui tend vers 0.

Question 48Mathématiques

On considère la fonction f définie sur ℝ par f(x) = (x² + 1)e^{−x}. Quelle est la valeur de f′(x) ?

  1. (−x² + 2x − 1)e^{−x} Correct answer.
  2. (x² + 2x + 1)e^{−x}
  3. (2x)e^{−x}
  4. (x² + 1)e^{−x}

Explanation

On applique la règle du produit avec u = x² + 1 et v = e^{−x}. Alors f′(x) = 2x e^{−x} + (x² + 1)(−e^{−x}) = (−x² + 2x − 1)e^{−x}.

Question 49Mathématiques

On considère la fonction f définie sur ℝ par f(x) = x³ − 3x + 2. Combien l'équation f(x) = 0 admet-elle de solutions réelles distinctes ?

  1. 3
  2. 0
  3. 2 Correct answer.
  4. 1

Explanation

On remarque que f(1) = 0, donc f(x) = (x − 1)(x² + x − 2) = (x − 1)²(x + 2). Les solutions sont x = 1 (racine double) et x = −2 : il y a donc 2 solutions distinctes.

Question 50Mathématiques

Dans le plan complexe, on considère les points A d'affixe 1 + i, B d'affixe 4 + i et C d'affixe 1 + 5i. Quelle est la nature du triangle ABC ?

  1. Rectangle isocèle en A Correct answer.
  2. Rectangle en B
  3. Isocèle en B
  4. Équilatéral

Explanation

On calcule AB = |3| = 3 et AC = |4i| = 4, puis BC = |(1 + 5i) − (4 + i)| = |−3 + 4i| = 5. Comme AB² + AC² = 9 + 16 = 25 = BC², le triangle est rectangle en A ; AB ≠ AC, donc il n'est pas isocèle.