Deux formules d'épargne : l'arithmétique contre l'exponentielle
À Njombé, un jeune éleveur dispose de 50 000 FCFA qu'il n'aura pas à toucher avant dix ans. La mutuelle lui soumet deux formules. Formule A : il verse les 50 000 FCFA, puis 12 000 FCFA fixes sont ajoutés à chaque anniversaire du contrat. Formule B : les 50 000 FCFA sont placés à 8 % par an, les intérêts étant capitalisés chaque année. Un agent affirme : « B dépasse A dès la cinquième année, puisque les intérêts produisent eux-mêmes des intérêts. » L'éleveur, qui veut signer en connaissance de cause, dispose d'une calculatrice non programmable et d'un tableau : 1,08^5 = 1,469 ; 1,08^10 = 2,159 ; 1,08^20 = 4,661 ; 1,08^25 = 6,848 ; 1,08^26 = 7,396. Il demande trois choses : ce qu'il retirerait après dix ans, à partir de quelle année B devient réellement plus avantageuse, et si le raisonnement de l'agent résiste à l'examen.
1. Modéliser les deux formules par des suites, calculer la somme disponible au bout de dix ans, puis vérifier l'affirmation de l'agent selon laquelle B dépasse A dès la cinquième année.
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Modélisation. La formule A ajoute une somme constante : c'est une suite arithmétique de premier terme 50 000 et de raison 12 000, donc A_n = 50 000 + 12 000 n (n en années). La formule B capitalise un taux constant : suite géométrique de raison 1,08, donc B_n = 50 000 × 1,08^n.
Calculs. A_10 = 50 000 + 120 000 = 170 000 FCFA. B_10 = 50 000 × 2,159 = 107 950 FCFA. B est donc en retard de 62 050 FCFA après dix ans.
Vérification de l'agent. À n = 5 : A_5 = 110 000 FCFA et B_5 = 50 000 × 1,469 = 73 450 FCFA. L'affirmation est fausse et l'écart est même maximal en valeur absolue dans les premières années.
Pourquoi l'argument ne vaut rien. Dire que « les intérêts produisent des intérêts » revient à dire que B_n est convexe et croît plus vite que A_n à long terme ; cela ne fixe aucune date de dépassement. La croissance exponentielle finit par l'emporter, mais seulement après un délai qui se calcule, il ne se devine pas. Confondre « croissance plus rapide » et « valeur plus grande à une date donnée » est l'erreur de raisonnement à sanctionner.
2. Déterminer le plus petit entier n tel que B_n > A_n, en décrivant une méthode réalisable avec la calculatrice non programmable de l'éleveur. Que doit-il choisir s'il peut attendre au plus 25 ans ?
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Méthode. On étudie D_n = B_n − A_n = 50 000 × 1,08^n − 50 000 − 12 000 n. La suite D_n n'est pas monotone au départ, mais elle devient croissante et finit par être positive. On encadre donc le seuil par évaluation, en utilisant le tableau fourni.
- n = 20 : B = 50 000 × 4,661 = 233 050 ; A = 290 000 ; D = −56 950.
- n = 25 : B = 50 000 × 6,848 = 342 400 ; A = 350 000 ; D = −7 600.
- n = 26 : B = 50 000 × 7,396 = 369 800 ; A = 362 000 ; D = +7 800.
Le changement de signe se produit donc entre 25 et 26 ans : le plus petit entier cherché est n = 26. Il reste à justifier qu'il n'y a pas d'autre solution avant : la croissance de D au-delà de son minimum (voir tâche suivante) et les valeurs négatives aux dates intermédiaires clés (n = 10 et n = 20) suffisent pour un usage scolaire ; une calculatrice programmable donnerait le même résultat par balayage.
Conseil. Si l'éleveur peut attendre au plus 25 ans, la formule A reste plus favorable (7 600 FCFA de plus à 25 ans). La formule B n'a d'intérêt que pour un horizon d'au moins 26 ans, ce qui est un pari sur le très long terme ; il faut aussi tenir compte du risque de l'établissement et de ses besoins de liquidité.
3. Un camarade prolonge les suites en fonctions de la variable réelle x, écrit f(x) = 50 000 × 1,08^x − 50 000 − 12 000 x, calcule f'(x), trouve f'(x) = 0 pour x ≈ 14,8 et conclut : « le changement de signe se produit donc à la quinzième année ». Relever l'erreur et montrer ce que l'étude de f apporte réellement.
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Ce qui est légitime. Prolonger 1,08^n en 1,08^x = e^(x ln 1,08) est parfaitement correct : f est dérivable sur R et l'étude de f renseigne sur le comportement de la suite.
Le calcul. f'(x) = 50 000 × ln(1,08) × 1,08^x − 12 000, avec ln(1,08) ≈ 0,07696. f'(x) = 0 donne 1,08^x = 12 000 / (50 000 × 0,07696) ≈ 3,118, soit x = ln(3,118)/ln(1,08) ≈ 1,137/0,07696 ≈ 14,8.
L'erreur. Ce x n'est pas une racine de f, c'est l'abscisse du minimum. En effet f(14,8) = 50 000 × 3,118 − 50 000 − 12 000 × 14,8 = 155 900 − 227 360 ≈ −71 460, valeur largement négative. Un extremum ne change pas le signe de la fonction. Le camarade confond annulation de la dérivée et annulation de f.
Ce que f apporte vraiment. Comme f''(x) > 0, f est convexe : elle décroît jusqu'en x ≈ 14,8 puis croît strictement. Sur l'intervalle [15 ; +∞[, f est donc strictement croissante, ce qui rend le balayage des entiers légitime et garantit l'unicité de la solution entière. On peut alors affirmer sans ambiguïté : f(25) < 0 < f(26) implique que n = 26 est l'unique solution. L'étude de f sert à justifier la méthode, pas à lire directement la réponse sur la dérivée.